2010-大纲卷I文-20 解-四棱锥垂直与二面角

本题导读

考查立体几何综合。（1）${\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=0$ 得 $t=\frac{2}{3}$，$SE=2EB$；（2）$\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC}$ 投影到 $DE$ 的垂面，$\cos =-\frac{1}{2}$，二面角 $120^{\circ }$。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(文)） 如图，四棱锥 $S-ABCD$ 中，$SD\perp$ 底面 $ABCD$，$AB\parallel DC$，$AD\perp DC$，$AB=AD=1$，$DC=SD=2$，$E$ 为棱 $SB$ 上的一点，平面 $EDC\perp$ 平面 $SBC$.

(1)证明：$SE=2EB$；

(2)求二面角 $A-DE-C$ 的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系 $D(0,0,0)$、$C(2,0,0)$、$A(0,1,0)$、$B(1,1,0)$、$S(0,0,2)$，设 $E=(t,t,2-2t)$。
2. 平面 $EDC$ 法向量 $(0,-2(1-t),t)$，平面 $SBC$ 法向量 $(1,1,1)$。
3. 垂直条件：$-2(1-t)+t=0$，$t=\frac{2}{3}$，故 $SE=2EB$。 4.（2）$\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC}$ 投影到垂直于 $\mathbf{d}=(1,1,1)$ 的平面：$\mathbf{a}=\left(-\frac{1}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)$，$\mathbf{c}=\left(\frac{4}{3},-\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right)$。
4. $\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}}{|\mathbf{a}||\mathbf{c}|}=-\frac{1}{2}$，$\theta =120^{\circ }$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 证明见解析

(2) 二面角 $A-DE-C$ 的大小为 $120^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

（1）建立空间直角坐标系：$D(0,0,0)$，$C(2,0,0)$，$A(0,1,0)$，$B(1,1,0)$，$S(0,0,2)$。 设 $t=\frac{SE}{SB}$（$0<t<1$），则 $E=S+t(B-S)=(t,t,2-2t)$。 平面 $EDC$ 的方向向量 $\overrightarrow{DC}=(2,0,0)$，$\overrightarrow{DE}=(t,t,2-2t)$，法向量可取 ${\mathbf{n}}_1=(0,-2(1-t),t);$ 平面 $SBC$ 的方向向量 $\overrightarrow{SB}=(1,1,-2)$，$\overrightarrow{SC}=(2,0,-2)$，法向量可取 ${\mathbf{n}}_2=(1,1,1).$ 由两平面垂直，${\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=0$，即 $-2(1-t)+t=0$，解得 $t=\frac{2}{3}$。 于是 $\frac{SE}{SB}=\frac{2}{3}$，$\frac{EB}{SB}=\frac{1}{3}$，所以 $SE=2EB$。 （2）由（1）知 $E=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$，$DE$ 的方向向量可取 $\mathbf{d}=(1,1,1)$。 二面角 $A-DE-C$ 等于 $\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$ 在垂直于 $\mathbf{d}$ 的截面上投影的夹角。 \boldsymbol a=\overrightarrow{DA}-\dfrac{\overrightarrow{DA}\cdot\boldsymbol d}{|\boldsymbol d|^2}\boldsymbol d=\left(-\dfrac13,\dfrac23,-\dfrac13\right),$$$$\boldsymbol c=\overrightarrow{DC}-\dfrac{\overrightarrow{DC}\cdot\boldsymbol d}{|\boldsymbol d|^2}\boldsymbol d=\left(\dfrac43,-\dfrac23,-\dfrac23\right). 计算得 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}=-\frac{2}{3}$，$|\mathbf{a}|=\frac{\sqrt{6}}{3}$，$|\mathbf{c}|=\frac{2\sqrt{6}}{3}$， $\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}}{|\mathbf{a}||\mathbf{c}|}=-\frac{1}{2},$ 故二面角 $A-DE-C$ 的大小为 $120^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间向量证比例与求二面角

核心方法：设 $E$ 的参数坐标，面面垂直 $⟺$ 法向量垂直

避坑指南：二面角 $A-DE-C$ 的棱是 $DE$；投影法中 $\mathbf{a},\mathbf{c}$ 必须垂直于棱方向 $\mathbf{d}$ 才是二面角的平面角，别直接算 $\overrightarrow{DA}$ 与 $\overrightarrow{DC}$ 的夹角。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：点在棱上的参数化 $E=S+t(B-S)$ 是处理”动点+垂直条件”的标配。

结论推广：两平面垂直 $⟺{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=0$，把几何条件一次代数化。

方法推广：二面角为钝角时余弦为负，$-\frac{1}{2}$ 对应 $120^{\circ }$，符号由实际图形决定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-19 解-四棱锥二面角
• 2009-湖北卷文-18 解-四棱锥垂直与二面角
• 2011-新课标卷文-18 解-四棱锥垂直与求高
• 2009-北京卷文-16 解-四棱锥面面垂直