2007-大纲卷I文-08 单-对数函数最值与对数方程

本题导读

本题考查对数函数的单调性，以及对数方程。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(文)） 设 $a>1$，函数 $f(x)={\log }_{a}x$ 在区间 $[a,2a]$ 上的最大值与最小值之差为 $\frac{1}{2}$，则 $a=$ ()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $2\sqrt{2}$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

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1. $a>1$ 时 ${\log }_{a}x$ 单调递增，最大值 $f(2a)$、最小值 $f(a)$。
2. 差 $={\log }_{a}2=\frac{1}{2}$，化为指数式 $a^{1/2}=2$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $a>1$，$f(x)={\log }_{a}x$ 在 $[a,2a]$ 上单调递增，所以最小值 $f(a)={\log }_{a}a=1$，最大值 $f(2a)={\log }_{a}2a={\log }_{a}2+1$． 由题意 ${\log }_{a}2=\frac{1}{2}⟹a^{\frac{1}{2}}=2⟹a=4.$ 故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数最值与对数方程

核心方法：单调性定端点最值，差化为同底对数

避坑指南：${\log }_{a}2a-{\log }_{a}a={\log }_{a}2$（真数相除）；解 ${\log }_{a}2=\frac{1}{2}$ 化指数 $a^{1/2}=2$ 时别写成 $a=\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数函数在给定区间上的最值差是函数性质的常见考法。

结论推广：单调函数在闭区间上的最值都在端点取得。

方法推广：“最值差”先分别写出最大、最小值再作差，别急着代特殊值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2008-天津卷文-10 单-对数方程值域条件
• 2010-浙江卷文-02 单-对数方程