2007-江西卷文-09 单-外接球与球面距离

本题导读

本题考查外接球，以及球面距离。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(文)） 四面体 $ABCD$ 外接球球心在 $CD$ 上，且 $CD=2$，$AB=\sqrt{3}$，在外接球面上两点 $A$、$B$ 间的球面距离是 ()

A. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{2\pi }{3}$　　　　　　　D. $\frac{5\pi }{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 球心在弦 $CD$ 上且 $C,D$ 在球面 $\Rightarrow CD$ 是直径，$R=1$。
2. 设 $\angle AOB=\phi$（$O$ 球心），弦长 $AB=2R\sin \frac{\phi }{2}=\sqrt{3}$。
3. $\sin \frac{\phi }{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \phi =\frac{2\pi }{3}$（$0<\phi ⩽\pi$）。
4. 球面距离 $=R\phi$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

外接球球心在 $CD$ 所在直线上，且 $C$，$D$ 都在球面上，所以 $CD$ 是球的直径．由 $CD=2$，得外接球半径 $R=1$． 设球心为 $O$，圆心角 $\angle AOB=\phi$（$0<\phi ⩽\pi$）．弦长公式： $AB=2R\sin \frac{\phi }{2}=\sqrt{3}\Rightarrow \sin \frac{\phi }{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \phi =\frac{2\pi }{3}.$ 球面距离等于对应大圆弧长：$R\phi =1\cdot \frac{2\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$，故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：外接球与球面距离

核心方法：球心在 $CD$ 上且 $C,D$ 在球面 $\Rightarrow CD$ 为直径，$R=1$；弦长定圆心角求弧长

避坑指南：球面距离是大圆劣弧长 $R\phi$；$\phi$ 取不超过 $\pi$ 的圆心角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：外接球与球面距离，立体几何经典模型

结论推广：球面距离 $=R\cdot \angle AOB$（大圆劣弧）；弦长 $AB=2R\sin \frac{\phi }{2}$

方法推广：球面距离三步：定半径、定圆心角、算弧长

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练(Links)

• 2014-陕西卷理-05 单-外接球
• 2010-四川卷文-12 单-球面距离
• 2009-四川卷文-09 单-球面距离
• 2008-安徽卷文-16 填-球面距离