2010-四川卷文-12 单-球面距离

本题导读

考查球面距离。以 $O$ 为原点建系，求出 $M$、$N$ 坐标：$\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=\frac{17R^2}{25}$，圆心角 $\theta$ 满足 $\cos \theta =\frac{17}{25}$，球面距离为 $R\arccos \frac{17}{25}$，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(文)） 半径为 $R$ 的球 $O$ 的直径 $AB$ 垂直于平面 $\alpha$，垂足为 $B$，$△BCD$ 是平面 $\alpha$ 内边长为 $R$ 的正三角形，线段 $AC$、$AD$ 分别与球面交于点 $M$、$N$，那么 $M$、$N$ 两点间的球面距离是()

A. $R\arccos \frac{17}{25}$　　　　　B. $R\arccos \frac{18}{25}$　　　　　C. $\frac{1}{3}\pi R$　　　　　D. $\frac{4}{15}\pi R$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $O$ 为原点建系：$A=(0,0,R)$、$B=(0,0,-R)$，平面 $\alpha$ 即 $z=-R$。
2. 由正三角形的对称性写出 $C$、$D$ 坐标；直线 $AC$、$AD$ 参数化后代入球面方程 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 求 $M$、$N$。
3. 球面距离 $=$ 半径 $\times$ 圆心角（弧度制），圆心角由 $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}}{|\overrightarrow{OM}||\overrightarrow{ON}|}$ 求出。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

取 $O$ 为原点，令 $A=(0,0,R)$、$B=(0,0,-R)$，则平面 $\alpha$ 可取为 $z=-R$. 由正三角形的对称性，不妨设 $C=(R,0,-R)$、$D=\left(\frac{R}{2},\frac{\sqrt{3}R}{2},-R\right)$. 直线 $AC$ 上的点可写为 $A+s(C-A)$，代入球面方程 $x^2+y^2+z^2=R^2$： $(sR{)}^2+(R-2sR{)}^2=R^2⟹5s^2-4s=0,$ 除去 $s=0$（对应点 $A$）得 $s=\frac{4}{5}$，所以 $M=\left(\frac{4R}{5},0,-\frac{3R}{5}\right).$ 同理，直线 $AD$ 与球面的另一交点为 $N=\left(\frac{2R}{5},\frac{2\sqrt{3}R}{5},-\frac{3R}{5}\right).$ 于是 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=\frac{8R^2}{25}+0+\frac{9R^2}{25}=\frac{17R^2}{25},|\overrightarrow{OM}|=|\overrightarrow{ON}|=R.$ 设 $\angle MON=\theta$，则 $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}}{|\overrightarrow{OM}||\overrightarrow{ON}|}=\frac{17}{25}.$ 故 $M$、$N$ 两点间的球面距离为 $R\theta =R\arccos \frac{17}{25}.$ 故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球面距离与空间向量

核心方法：$\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=\frac{17R^2}{25}$，$\cos \theta =\frac{17}{25}$，球面距离 $R\arccos \frac{17}{25}$

避坑指南：球面距离 $=$ 半径 $\times$ 圆心角（弧度制）；$M$、$N$ 是线段与球面的交点，联立方程时除去起点 $A$ 对应的根；求 $\cos \theta$ 用 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}$ 除以 $R^2$，别与弦长公式混用。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直径垂直平面与正三角形的组合是空间综合题的经典结构，四川 2009 年第 9 题、2012 年第 10 题同考球面距离。

结论推广：球面距离公式 $l=R\theta$；直线与球面交点用参数代入解二次方程。

方法推广：涉及球与平面、线段的交点，建系后参数化直线是通用解法；圆心角由向量数量积一步到位。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-09 单-球面距离
• 2009-陕西卷文-15 填-球面距离求角
• 2012-四川卷文-10 单-球面距离与截面
• 2009-辽宁卷文-05 单-球纬线长比值