2007-江西卷文-16 填-正方体垂心与二面角多命题

本题导读

本题考查正方体，以及线面垂直。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(文)） 如图，正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的棱长为 $1$，过点 $A$ 作平面 $A_{1}BD$ 的垂线，垂足为点 $H$．有下列四个命题： A. 点 $H$ 是 $△A_{1}BD$ 的垂心； B. $AH$ 垂直平面 $C{B}_1{D}_1$； C. 二面角 $C-B_1{D}_1-C_1$ 的正切值为 $\sqrt{2}$； D. 点 $H$ 到平面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的距离为 $\frac{3}{4}$． 其中真命题的代号是　　。（写出所有真命题的代号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建空间直角坐标系，令 $A_1(0,0,0)$、$B_1(1,0,0)$、$C_1(1,1,0)$、$D_1(0,1,0)$，$A(0,0,1)$、$B(1,0,1)$、$C(1,1,1)$、$D(0,1,1)$。
2. 平面 $A_{1}BD$ 方程为 $z=x+y$，法向量 $(-1,-1,1)$，$A$ 向其作垂线得 $H\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$。
3. 逐命题验证：A 中 $H$ 在三条高上（真）；B 中 $AH$ 平行平面 $C{B}_1{D}_1$ 法向量（真）；C 中二面角正切 $\sqrt{2}$（真）；D 中距离 $\frac{2}{3}\ne \frac{3}{4}$（假）。

✅【答案】

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A、B、C

✍【详细解析】

Abstract

建立空间直角坐标系，取 $A_1(0,0,0)$、$B_1(1,0,0)$、$C_1(1,1,0)$、$D_1(0,1,0)$，$A(0,0,1)$、$B(1,0,1)$、$C(1,1,1)$、$D(0,1,1)$． 平面 $A_{1}BD$ 的方程为 $z=x+y$，法向量 $(-1,-1,1)$，从 $A$ 向该平面作垂线，垂足 $H=A-\frac{1}{(-1{)}^2+(-1{)}^2+1^2}(-1,-1,1)=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right).$ 验证 A：$△A_{1}BD$ 三边方向向量取 $\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)$、$\overrightarrow{A_{1}D}=(0,1,1)$、$\overrightarrow{A_{1}B}=(1,0,1)$， $\overrightarrow{A_{1}H}=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$、$\overrightarrow{BH}=\left(-\frac{2}{3},\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right)$、$\overrightarrow{DH}=\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)$， $\overrightarrow{A_{1}H}\cdot \overrightarrow{BD}=0$、$\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{A_{1}D}=0$、$\overrightarrow{DH}\cdot \overrightarrow{A_{1}B}=0$，$H$ 在三条高上，是垂心，A 真． 验证 B：平面 $C{B}_1{D}_1$ 的法向量取 $(1,1,-1)$，而 $\overrightarrow{AH}=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right)$ 与之平行，故 $AH\perp$ 平面 $C{B}_1{D}_1$，B 真． 验证 C：二面角 $C-B_1{D}_1-C_1$ 的两平面法向量取 ${\mathbf{n}}_1=(1,1,-1)$、${\mathbf{n}}_2=(0,0,1)$， $\cos \phi =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，$\tan \phi =\frac{\sqrt{1-{\cos }^2\phi }}{\cos \phi }=\frac{\sqrt{2/3}}{1/\sqrt{3}}=\sqrt{2}$，C 真． 验证 D：平面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 即 $z=0$，点 $H$ 到其距离为 $\frac{2}{3}\ne \frac{3}{4}$，D 假． 综上 A、B、C 为真命题．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体垂心与二面角多命题

核心方法：建系求 $H\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$，逐命题验证 A/B/C 真、D 假

避坑指南：多命题判断题逐条验证，别漏项；D 中距离是 $\frac{2}{3}$ 不是 $\frac{3}{4}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方体垂心、二面角、距离的多命题判定，立几压轴填空

结论推广：正方体建系后 $H$ 坐标 $\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$ 是经典结论

方法推广：多命题立几题建系逐条验证最稳，避免几何直觉误判

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练(Links)

• 2010-江西卷文-11 单-正方体空间命题判定
• 2008-上海卷文-16 解-正方体线面角
• 2011-福建卷文-15 填-正方体线面平行
• 2013-江西卷文-15 填-正方体线面相交