2008-上海卷文-16 解-正方体线面角

本题导读

考查线面角。建系定 $E$，射影 $E_0$ 到底面，直角三角形 $DE{E}_0$ 中 $\tan \theta =\frac{1}{\sqrt{5}}$，角为 $\arctan \frac{\sqrt{5}}{5}$。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(文)） 如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E$ 是 $B{C}_1$ 的中点. 求直线 $DE$ 与平面 $ABCD$ 所成角的大小.（结果用反三角函数表示）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $A$ 为原点、$AB$、$AD$、$A{A}_1$ 为 $x$、$y$、$z$ 轴建系：$B(2,0,0)$、$D(0,2,0)$、$C_1(2,2,2)$。
2. $E$ 为 $B{C}_1$ 中点：$E(2,1,1)$；其在平面 $ABCD$（$z=0$）上的射影 $E_0(2,1,0)$。
3. $D{E}_0=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$E{E}_0=1$，$DE=\sqrt{6}$。
4. $\tan \theta =\frac{E{E}_0}{D{E}_0}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\theta =\arctan \frac{\sqrt{5}}{5}$。

✅【答案】

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直线 $DE$ 与平面 $ABCD$ 所成角为 $\arctan \frac{\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为原点，$AB$、$AD$、$A{A}_1$ 所在直线为 $x$、$y$、$z$ 轴建系，则 $A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),A_1(0,0,2),C_1(2,2,2).$ $E$ 是 $B{C}_1$ 的中点，所以 $E(2,1,1)$. 设 $E_0(2,1,0)$，则 $E_0$ 是点 $E$ 在平面 $ABCD$ 上的射影，且 $D{E}_0=\sqrt{(2-0{)}^2+(1-2{)}^2}=\sqrt{5},E{E}_0=1.$ 所以直线 $DE$ 与平面 $ABCD$ 所成角就是直角三角形 $DE{E}_0$ 的锐角 $\theta$， $\tan \theta =\frac{E{E}_0}{D{E}_0}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.$ 所以直线 $DE$ 与平面 $ABCD$ 所成角为 $\arctan \frac{\sqrt{5}}{5}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体中的线面角

核心方法：$E(2,1,1)$，$E_0(2,1,0)$，$\tan \theta =\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\theta =\arctan \frac{\sqrt{5}}{5}$

避坑指南：线面角 = 斜线与射影的夹角；建系后”找射影、算直角三角形”两步走；$D{E}_0=\sqrt{5}$、$E{E}_0=1$，正切即高比影长。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方体 + 中点 + 线面角是上海卷常规解答题，2010 大纲Ⅰ文第 9 题、2011 天津文第 17 题同型。

结论推广：$\tan \theta =\frac{d}{\text{射影长}}$；$E$ 为 $B{C}_1$ 中点 $\Rightarrow E(2,1,1)$。

方法推广：结果要求反三角表示：$\arctan \frac{\sqrt{5}}{5}$ 与 $\arcsin \frac{\sqrt{6}}{6}$ 等价，按题目要求选 arctan；射影点 $E_0$ 在底面内部不特殊，画图时标清楚。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-07 单-正四棱柱线面角
• 2010-大纲卷I文-09 单-正方体线面角
• 2009-大纲卷II文-19 解-直三棱柱线面角
• 2011-天津卷文-17 解-线面平行与线面角