2007-江西卷理-10 单-等差数列定义等差中项

本题导读

本题考查古典概型的概率计算。核心在于通过抛掷骰子的独立性确定总的基本事件数，再利用等差中项的代数性质穷举筛选出符合等差数列特征的合法点数组合。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(理)） 将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为()

A. $\frac{1}{9}$　　　　　　B. $\frac{1}{12}$　　　　　　C. $\frac{1}{15}$　　　　　　D. $\frac{1}{18}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算基本事件总数：抛掷一个骰子一次有 6 种可能点数。连续抛掷三次， 属于分步独立行为， 基本事件总数 $N=6\times 6\times 6=216$。

2. 分析等差数列条件：设三次向上的点数依次为 $a,b,c$。 根据等差数列的性质， 它们成等差的充要条件是满足等差中项公式： $2b=a+c$。

3. 分类穷举符合条件的数对 $(a,b,c)$： 因为 $a,b,c\in \{1,2,3,4,5,6\}$， 且 $2b$ 必然为偶数， 故 $a+c$ 必须为偶数（即 $a$ 与 $c$ 必须同奇或同偶）。我们可以根据中间项 $b$ 的取值进行分步讨论计数。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：由于一个骰子有 6 个面， 连续抛掷三次落地时向上的点数基本事件总数为： $N=6\times 6\times 6=216\text{ 种}$

设这三次落地的点数依次为 $a,b,c$ （其中 $a,b,c\in \{1,2,3,4,5,6\}$）。 若它们依次成等差数列， 根据等差中项的性质， 必须且只需满足： $a+c=2b$

根据中间项 $b$ 的可能取值， 采用分类穷举法计算符合条件的基本事件数 $m$：

1. 当 $b=1$ 时： $a+c=2\times 1=2$。 满足条件的点数组合只有 1 种： $(1,1,1)$。
2. 当 $b=2$ 时： $a+c=2\times 2=4$。 满足条件的 $(a,c)$ 有： $(1,3),(2,2),(3,1)$， 共 3 种。
3. 当 $b=3$ 时： $a+c=2\times 3=6$。 满足条件的 $(a,c)$ 有： $(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)$， 共 5 种。
4. 当 $b=4$ 时： $a+c=2\times 4=8$。 满足条件的 $(a,c)$ 有： $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$， 共 5 种（注意 $a,c$ 不能超过6）。
5. 当 $b=5$ 时： $a+c=2\times 5=10$。满足条件的 $(a,c)$ 有： $(4,6),(5,5),(6,4)$， 共 3 种。
6. 当 $b=6$ 时： $a+c=2\times 6=12$。满足条件的点数组合只有 1 种： $(6,6,6)$。

将所有互斥分类下的方案数相加， 得到符合条件的总基本事件数为： $m=1+3+5+5+3+1=18\text{ 种}$

根据古典概型概率计算公式， 所求事件的概率为： $P=\frac{m}{N}=\frac{18}{216}=\frac{1}{12}$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差中项性质（ $a+c=2b$）、排列组合分步计数原理、古典概型。
2. 核心方法：基于核心元（中间项 $b$）的分类穷举法。
3. 避坑指南：

• 在计算 $b=4$ 时，极易想当然写出 $(1,7)$ 或 $(7,1)$。必须时刻清醒记住骰子的最大点数只能是 6， 越界的数据属于无效基本事件。
• 不要漏掉公差 $d=0$ 的常数列情形（如 $(1,1,1),(2,2,2)$ 等）， 常数列也是完全合法的等差数列。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：古典概型与基本事件计数、等差数列的定义与等差中项是江西卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是古典概型与基本事件计数、等差数列的定义与等差中项的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用穷举法（分类计数）、基本事件总数公式法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-山东卷理-07 单-古典概型
• 2008-北京卷文-07 单-等差数列偶数项子列
• 2008-大纲卷I理-05 单-等差数列