2007-江西卷理-11 单-导数几何意义

本题导读

本题考查周期性与奇偶性复合后函数在特定点处的导数值（切线斜率）。核心在于通过对偶函数的性质两边求导，发现“可导偶函数的导函数必为奇函数”这一核心性质，再结合周期性求出结果。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(理)） 设函数 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上以 5 为周期 的可导偶函数，则曲线 $y=f(x)$ 在 $x=5$ 处的切线的斜率为()

A. $-\frac{1}{5}$　　　　　　　B. 0　　　　　　　C. $\frac{1}{5}$　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化切线斜率：根据导数的几何意义， 曲线在 $x=5$ 处的切线斜率即为导数值 $f^{\prime }(5)$。
2. 利用周期性平移：因为函数 $f(x)$ 的周期为 5， 其导函数 $f^{\prime }(x)$ 的周期同样为 5。 故有 $f^{\prime }(5)=f^{\prime }(0)$。
3. 利用奇偶性求导求原点导数：

• 已知 $f(x)$ 是偶函数， 满足 $f(-x)=f(x)$。

• 两边同时对 $x$ 求导（注意左边运用复合函数求导法则）： $[f(-x){]}^{\prime }\cdot (-1)=f^{\prime }(x)⟹-f^{\prime }(-x)=f^{\prime }(x)$。

• 这说明可导偶函数的导函数必然是奇函数。

• 在奇函数关系式中令 $x=0$， 即可求得 $f^{\prime }(0)$ 的值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：根据导数的几何意义， 曲线 $y=f(x)$ 在 $x=5$ 处的切线斜率大小等于该点处的导数值， 即记为 $K=f^{\prime }(5)$。

因为函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的以 5 为周期的可导函数， 满足 $f(x+5)=f(x)$。 两边同时对自变量 $x$ 求导， 易知其导函数具有完全相同的周期性： $f^{\prime }(x+5)=f^{\prime }(x)$ 令 $x=0$ 代入上式中， 可将目标导数值平移至原点处： $f^{\prime }(5)=f^{\prime }(0)$

又因为原函数 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的偶函数， 轴对称恒等式为： $f(-x)=f(x)$ 两边同时对 $x$ 求导， 左边根据复合函数求导法则（外层函数求导乘以内层项 $-x$ 对 $x$ 的导数 $-1$）： $f^{\prime }(-x)\cdot (-x{)}^{\prime }=f^{\prime }(x)$ $-f^{\prime }(-x)=f^{\prime }(x)⟹f^{\prime }(-x)=-f^{\prime }(x)$ 该代数式表明， 可导偶函数的导函数 $f^{\prime }(x)$ 严格是一个奇函数。

因为奇函数的图象必定通过坐标原点（若在零处有定义）， 我们在上式中令 $x=0$ 代入： $f^{\prime }(-0)=-f^{\prime }(0)⟹f^{\prime }(0)=-f^{\prime }(0)$ 移项合并同类项可得： $2f^{\prime }(0)=0⟹f^{\prime }(0)=0$

所以， 目标切线斜率 $K=f^{\prime }(5)=f^{\prime }(0)=0$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：可导偶函数的导函数为奇函数（反之， 可导奇函数的导函数为偶函数）、奇函数在 $x=0$ 处的导数定值。
2. 核心方法：复合函数求导法、对称周期平移法。
3. 避坑指南：

• 牢记高频几何小结论：可导偶函数在对称轴处（如本题的 $x=0$ 以及周期翻折点 $x=5$ 处）的极值点或切线斜率必然为 0。由于偶函数图象关于 $y$ 轴左右对称且平滑可导， 顶点的切线只能水平， 记住这个几何直观可以直接秒杀答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的周期性与对称性、偶函数的导数特征（奇偶性反转）是江西卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是函数的周期性与对称性、偶函数的导数特征（奇偶性反转）的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用导数性质恒等推导法、零元素代换法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2025-新高考I卷-05 单-函数性质
• 2008-四川卷理-11 单-函数
• 2008-大纲卷I文-04 单-切线倾斜角