2008-大纲卷I文-04 单-切线倾斜角

本题导读

考查导数几何意义。$y^{\prime }=3x^2-2$，在 $x=1$ 处切线斜率为 $1$，倾斜角 $45^{\circ }$，选 B。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(文)） 曲线 $y=x^3-2x+4$ 在点 $(1,3)$ 处的切线的倾斜角为()

A. $30^{\circ }$　　　　　　B. $45^{\circ }$　　　　　　C. $60^{\circ }$　　　　　　D. $120^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求导 $y^{\prime }=3x^2-2$。
2. 代入 $x=1$ 得切线斜率。
3. 由斜率 $k=\tan \alpha$ 求倾斜角。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$y^{\prime }=3x^2-2$，在 $x=1$ 处 $y^{\prime }{|}_{x=1}=3-2=1,$ 即切线斜率 $k=1$. 由 $k=\tan \alpha$ 且 $\alpha \in [0^{\circ },180^{\circ })$，得 $\alpha =45^{\circ }$. 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义与倾斜角

核心方法：$y^{\prime }(1)=1$，$\tan \alpha =1$，$\alpha =45^{\circ }$

避坑指南：切线斜率 $=f^{\prime }(x_0)$；斜率 $k$ 与倾斜角 $\alpha$ 满足 $k=\tan \alpha$，$\alpha \in [0^{\circ },180^{\circ })$；$k=1$ 对应 $45^{\circ }$，$k=-1$ 对应 $135^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“切线斜率 $\to$ 倾斜角”是导数几何意义的基础链，2009 江苏文第 9 题、2010 大纲Ⅰ文第 11 题同考切线。

结论推广：$f^{\prime }(x_0)=\tan \alpha$；特殊角对应：$1\to 45^{\circ }$，$\sqrt{3}\to 60^{\circ }$，$\frac{\sqrt{3}}{3}\to 30^{\circ }$。

方法推广：先求导再代值；由 $k$ 反查 $\alpha$ 时注意 $k$ 的正负与 $\alpha$ 的范围，负斜率对应钝角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-21 解-导数单调与切线
• 2009-江苏卷-09 填-切线求点
• 2010-大纲卷I文-11 单-切线数量积最值
• 2009-新课标卷文-13 填-指数曲线切线