2007-江西卷理-17 解-分段不等式解法

本题导读

本题考查分段函数的连续性定义及分段不等式的解法。第一问利用函数在分界点 $x=c$ 处的连续性条件（左右极限相等）以及给定的特殊函数值，建立方程组求解参数 $k$ 和 $c$；第二问根据求出的解析式，分区间讨论求解复合不等式的解集。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(理)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{l}cx+1,0<x<c\\ 2^{-\frac{x}{c^2}}+k,c\le x<1\end{array}$ 在区间 $(0,1)$ 内连续，且 $f(c^2)=\frac{9}{8}$.

(1) 求实数 $k$ 和 $c$ 的值；

(2) 解不等式 $f(x)>\frac{\sqrt{2}}{8}+1$.

🔍【思路分析】

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1. 分界点连续性：函数在 $(0,1)$ 内连续，其分界点为 $x=c$，则必须满足在该点处的左极限、右极限与函数值三者相等，即 ${\lim }_{x\to c^{-}}f(x)={\lim }_{x\to c^{+}}f(x)=f(c)$。

2. 利用特殊值：由 $0<c<1⟹0<c^2<c$。因此计算 $f(c^2)$ 时应代入第一段解析式 $cx+1$。

3. 分段解不等式：将求得的 $c,k$ 代回原函数，针对 $0<x<c$ 和 $c\le x<1$ 两个区间分别解对应的不等式，最后取并集。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）因为 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内连续，且分界点为 $x=c$ （显然满足 $0<c<1$）。 所以 $f(x)$ 在 $x=c$ 处必须满足连续性条件： ${\lim }_{x\to c^{-}}f(x)={\lim }_{x\to c^{+}}f(x)=f(c)$ 即： $c\cdot c+1=2^{-\frac{c}{c^2}}+k⟹c^2+1=2^{-\frac{1}{c}}+k\text{(1)}$

由于 $0<c<1$，故有 $0<c^2<c$。 按照分段函数的定义， $f(c^2)$ 应代入第一段解析式中进行计算： $f(c^2)=c\cdot c^2+1=c^3+1$ 已知 $f(c^2)=\frac{9}{8}$，建立关于 $c$ 的方程： $c^3+1=\frac{9}{8}⟹c^3=\frac{1}{8}$ 解得： $c=\frac{1}{2}$

将 $c=\frac{1}{2}$ 代入①式中： ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2+1=2^{-\frac{1}{1/2}}+k⟹\frac{1}{4}+1=2^{-2}+k$ $\frac{5}{4}=\frac{1}{4}+k⟹k=1$ 所以， 实数 $k=1$， $c=\frac{1}{2}$。

（2）将 $c=\frac{1}{2},k=1$ 代回原函数解析式中进行化简： $f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}x+1,0<x<\frac{1}{2}\\ 2^{-4x}+1,\frac{1}{2}\le x<1\end{array}$ 要求解不等式 $f(x)>\frac{\sqrt{2}}{8}+1$， 需要分区间进行讨论：

• 当 $0<x<\frac{1}{2}$ 时： $\frac{1}{2}x+1>\frac{\sqrt{2}}{8}+1⟹\frac{1}{2}x>\frac{\sqrt{2}}{8}⟹x>\frac{\sqrt{2}}{4}$ 结合区间限制 $0<x<\frac{1}{2}$， 取交集： $\because \sqrt{2}\approx 1.414⟹\frac{\sqrt{2}}{4}\approx 0.353<0.5$。 $\therefore$ 此时解集为： $\left(\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{1}{2}\right)$。

• 当 $\frac{1}{2}\le x<1$ 时： $2^{-4x}+1>\frac{\sqrt{2}}{8}+1⟹2^{-4x}>2^{\frac{1}{2}-3}⟹2^{-4x}>2^{-\frac{5}{2}}$ 根据底数 $2>1$ 的单调递增性， 对应指数不等号方向不变： $-4x>-\frac{5}{2}⟹x<\frac{5}{8}$ 结合区间限制 $\frac{1}{2}\le x<1$， 取交集（ $\frac{1}{2}=\frac{4}{8}<\frac{5}{8}<1$）： $\therefore$ 此时解集为： $\left[\frac{1}{2},\frac{5}{8}\right)$。

综合上述两个区间的解集， 取它们的并集： $\left(\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{1}{2}\right)\cup \left[\frac{1}{2},\frac{5}{8}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{5}{8}\right)$

所以， 原不等式的解集为 $\left(\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{5}{8}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数分界点处的连续性极限方程、利用自变量区间精准代入解析式、指数底数大于 1 的不等式转换。
2. 避坑指南：

• 第一问中，在代入 $f(c^2)$ 时，必须通过 $0<c<1$ 判定出 $c^2<c$，从而准确选择第一段进行代入。若错代入第二段会导致后续参数计算彻底脱轨。
• 第二问中，各分段区间解出结果后，务必顺手与该段本身的自变量限制范围（如 $0<x<\frac{1}{2}$）取交集，最后将两段的合法区间进行并集平滑拼接。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查分段函数的连续性、指数与对数方程的求解，是江西卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（极限相等法（左、右极限）、分段讨论法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：分段函数的连续性、指数与对数方程的求解相互关联，解答中综合运用了极限相等法（左、右极限）、分段讨论法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 04.01 指数与对数运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-19 解-指数分段函数恒成立
• 2008-上海卷文-20 解-双曲线数量积与截线
• 2008-江苏卷-20 解-绝对值分段函数