2008-江苏卷-20 解-绝对值分段函数

本题导读

两个指数型绝对值函数取小：令 $\ell ={\log }_{3}2$ 后 $f=3^h$，$h=\min \{|x-p_1|,\ell +|x-p_2|\}$，单调性同 $h$；第(2)问按 $|p_1-p_2|$ 与 $\ell$ 的大小分段，算增区间长度之和。

📌【题干】

Question

（2008年江苏卷） 已知函数 $f_1(x)=3^{|x-p_1|}$，$f_2(x)=2\cdot 3^{|x-p_2|}$（$x\in \mathbf{R}$，$p_1$，$p_2$ 为常数）. 函数 $f(x)$ 定义为：对每个给定的实数 $x$， $f(x)=\{\begin{array}{ll}{f}_1(x),& f_1(x)⩽f_2(x),\\ f_2(x),& f_1(x)>f_2(x).\end{array}$

(1)求 $f(x)=f_1(x)$ 对所有实数 $x$ 成立的充分必要条件（用 $p_1$，$p_2$ 表示）；

(2)设 $a$，$b$ 是两个实数，满足 $a<b$，且 $p_1$，$p_2\in (a,b)$. 若 $f(a)=f(b)$，求证：$f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的单调增区间的长度之和为 $\frac{b-a}{2}$.（闭区间 $[m,n]$ 的长度定义为 $n-m$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 化为 $|x-p_1|-|x-p_2|⩽{\log }_{3}2$ 对一切 $x$ 成立，左侧最大值是 $|p_1-p_2|$。
2. (2) 令 $h(x)=\min \{|x-p_1|,\ell +|x-p_2|\}$，$f=3^h$ 与 $h$ 同增减。
3. 按 $|p_1-p_2|⩽\ell$ 与 $|p_1-p_2|>\ell$（分 $p_1<p_2$、$p_1>p_2$）三类，各自求出增区间并求长度和。

✅【答案】

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(1)$|p_1-p_2|⩽{\log }_{3}2$；(2)见解析

✍【详细解析】

Abstract

置 $\ell ={\log }_{3}2$。 (1)$f(x)=f_1(x)$ 对所有实数成立，当且仅当 $3^{|x-p_1|}⩽2\cdot 3^{|x-p_2|}$ 对所有实数成立， 即 $|x-p_1|-|x-p_2|⩽\ell$ 对所有实数成立。 由三角不等式，左侧 $⩽|p_1-p_2|$；当 $x⩾\max \{p_1,p_2\}$ 或 $x⩽\min \{p_1,p_2\}$ 时分别取到 $p_2-p_1$ 或 $p_1-p_2$，故左侧的最大值为 $|p_1-p_2|$。 所以充要条件为 $|p_1-p_2|⩽{\log }_{3}2$。 (2)令 $h(x)=\min \{|x-p_1|,\ell +|x-p_2|\}$，则 $f(x)=3^{h(x)}$，$f$ 与 $h$ 单调性相同。由 $f(a)=f(b)$ 得 $h(a)=h(b)$。 情形一：$|p_1-p_2|⩽\ell$。此时 $f=f_1=3^{|x-p_1|}$。由 $a<p_1<b$ 与 $h(a)=h(b)$ 得 $p_1-a=b-p_1$，即 $p_1=\frac{a+b}{2}$。 $f$ 在 $[p_1,b]$ 上单调递增，增区间长度之和为 $b-p_1=\frac{b-a}{2}$。 情形二：$|p_1-p_2|>\ell$ 且 $p_1<p_2$。记 $d=p_2-p_1>\ell$，$\tau =\frac{p_1+p_2+\ell }{2}$，则 $p_1<\tau <p_2$。 $x⩽\tau$ 时 $h=|x-p_1|$，$x⩾\tau$ 时 $h=\ell +|x-p_2|$，故 $h$ 在 $[p_1,\tau ]$ 与 $[p_2,b]$ 上递增，长度和为 $(\tau -p_1)+(b-p_2)=\frac{p_2-p_1+\ell }{2}+b-p_2$。 由 $a<p_1$，$b>p_2$ 及 $h(a)=h(b)$ 得 $p_1-a=\ell +b-p_2$，即 $p_1+p_2=a+b+\ell$，代入得长度和为 $\frac{b-a}{2}$。 情形三：$|p_1-p_2|>\ell$ 且 $p_1>p_2$。同理 $\tau =\frac{p_1+p_2-\ell }{2}$，$h$ 在 $[p_2,\tau ]$ 与 $[p_1,b]$ 上递增，长度和为 $(\tau -p_2)+(b-p_1)=\frac{p_1-p_2-\ell }{2}+b-p_1$。 由 $h(a)=h(b)$ 得 $\ell +p_2-a=b-p_1$，即 $p_1+p_2+\ell =a+b$，代入得长度和为 $\frac{b-a}{2}$。 综上，各种情形结论都成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数型绝对值函数的最小值结构

核心方法：取对数转化为折线的最小值，分段讨论增区间

避坑指南：$f=3^h$ 的单调性由 $h$ 决定；$f(a)=f(b)$ 只保证 $h(a)=h(b)$，三种情形都要用端点条件求出对称关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 江苏卷第 20 题、2011 江苏卷第 11 题同考绝对值与分段。

结论推广：指数取对数后，$f=3^h$ 的框架把复杂函数化归为折线。

方法推广：分段函数的增区间要逐段找齐，长度求和时别把重合段重复计数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-20 解-绝对值二次函数
• 2010-江苏卷-11 填-分段函数不等式
• 2009-新课标卷文-24 解-绝对值函数分段不等式
• 2011-江苏卷-11 填-分段函数求参数