2007-浙江卷文-05 单-圆面覆盖计数

本题导读

本题考查圆面覆盖问题，以及合情推理与构造。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(文)） 要在边长为 $16$ 米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为 $6$ 米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是 () 第 5 题图

A. $6$　　　　　　　B. $5$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

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1. 下界：每个圆与一条边的交集是一段弦，弦长不超过直径 $12<16$，故每条边至少被两个圆的弧段”分担”；每个圆至多与两条相邻边相交，$3$ 个圆至多管 $6$ 条边段 $<8$，不够。
2. 构造：四个圆心放在四个 $8\times 8$ 小正方形的中心，到角距离 $4\sqrt{2}\approx 5.66<6$，可行。
3. 故最少 $4$ 个。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$4$ 个够：把正方形分成四个 $8\times 8$ 的小正方形，在每个小正方形的中心各装一个龙头．小正方形的中心到其四个顶点的距离都等于 $\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\approx 5.66<6$，所以每个半径 $6$ 的圆面能盖住整个小正方形，四个圆面恰好盖住整个草坪． $3$ 个不够：圆心在草坪所在平面内，一个圆面与正方形一条边的交集是一段线段，其长度不超过直径 $12$，而每条边长 $16>12$，所以每条边至少需要两个圆面从两侧”接力”覆盖；每个圆面至多同时与两条相邻的边相交（圆心靠近角时），即 $3$ 个圆面至多覆盖 $3\times 2=6$ 个边段，而四条边至少需要 $4\times 2=8$ 个边段，矛盾． 故最少需安装 $4$ 个，选 C． （方法提示：覆盖问题先估下界再给构造，两边夹住答案；下界常从”边界长度对直径”入手。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆面覆盖计数

核心方法：覆盖问题两步走：先给可行构造（分割后外接圆半径小于 6），再从边界弦长给下界

避坑指南：每圆与每条边的交集是长度不超过直径的一段，边长 16>12 是”3 个不够”的根源；只算面积比（$3\pi r^2$ 对 $256$）不能排除 3 圆

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：覆盖问题源于组合几何，高考罕见但在应用题背景（草坪/雷达/信号）反复出现

结论推广：圆覆盖正方形：$n^2$ 个内切于 $\frac{1}{n}$ 边长分割的正方形的外接圆是标准构造

方法推广：处理”最少个数”：构造给上界、边界论证给下界，两边夹逼；单纯面积估算不充分

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 17.04 圆与圆的位置关系

类题演练(Links)

• 2008-四川卷文-08 单-球截面圆面积比
• 2010-四川卷文-16 填-封闭集新定义
• 2007-北京卷文-06 单-线性规划区域形状
• 1990-上海卷-10 填-矩形的计数