2008-四川卷文-08 单-球截面圆面积比

本题导读

$OM=\frac{R}{2}$，过 $M$ 的截面圆 $r=\frac{\sqrt{3}}{2}R$，面积比 $=\frac{3}{4}$.

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(文)） 设 $M$ 是球 $O$ 的半径 $OP$ 的中点，分别过 $M$、$O$ 作垂直于 $OP$ 的平面，截球面得到两个圆，则这两个圆的面积比值为()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　　D. $\frac{3}{4}$

🔍【思路分析】

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截面圆半径 = $\sqrt{R^2-d^2}$（$d$ 为球心到截面距离）；两截面平行，$d$ 分别为 $0$ 与 $\frac{R}{2}$，面积比即半径平方比.

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设球的半径为 $R$．过球心 $O$ 的截面圆半径为 $R$，面积为 $S_O=\pi R^2$．由于 $M$ 是 $OP$ 的中点，$OM=\frac{R}{2}$，过 $M$ 的截面圆半径 $r$ 满足$r^2=R^2-O{M}^2=R^2-\frac{R^2}{4}=\frac{3}{4}{R}^2$．因而 $S_M=\frac{3}{4}\pi R^2$，所以两个圆的面积比为 $\frac{S_M}{S_O}=\frac{3}{4}$．故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球的截面圆

核心方法：截面圆半径 $r=\sqrt{R^2-d^2}$，$d$ 是球心到截面距离

避坑指南：过球心的截面 $d=0$；过半径中点 $d=\frac{R}{2}$；面积比 = 半径平方比 $=\frac{3}{4}$，别开根号后忘平方

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球截面圆性质，立体几何小题高频

结论推广：平行截面圆半径平方随 $d^2$ 线性变化：$r^2=R^2-d^2$

方法推广：面积比 = $r^2$ 比 = $1-\frac{d^2}{R^2}$，一图一式

🔗【关联脉络】

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