2007-浙江卷文-22 解-绝对值方程根分布

本题导读

本题考查绝对值函数。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(文)） 已知 $f(x)=\left|x^2-1\right|+x^2+kx$． （1）若 $k=2$，求方程 $f(x)=0$ 的解； （2）若关于 $x$ 的方程 $f(x)=0$ 在 $(0,2)$ 上有两个解 $x_1$，$x_2$，求 $k$ 的取值范围，并证明 $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}<4$．

🔍【思路分析】

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1. 去绝对值分段：$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x^2+kx-1,& |x|⩾1,\\ 1+kx,& |x|<1.\end{array}$
2. （1）$k=2$：$|x|⩾1$ 段 $2x^2+2x-1=0$ 的两根中只有 $x=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}⩽-1$ 符合本段；$|x|<1$ 段 $x=-\frac{1}{2}$。
3. （2）$(0,1)$ 内根 $x=-\frac{1}{k}$ 需 $k<-1$；$(1,2)$ 内根需 $q(1)<0<q(2)$，即 $-7/2<k<-1$；两段各恰一根。
4. 代换：$\frac{1}{x_1}=-k$，$\frac{1}{x_2}=k+2x_2$，相加 $=2x_2<4$。

✅【答案】

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（1）$x=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$ 或 $x=-\frac{1}{2}$；（2）$k\in \left(-\frac{7}{2},-1\right)$，且 $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2x_2<4$ 成立

✍【详细解析】

Abstract

由绝对值的定义， $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x^2+kx-1,& |x|⩾1,\\ 1+kx,& |x|<1.\end{array}$ （1）当 $k=2$ 时，在 $|x|⩾1$ 上，方程 $f(x)=0$ 化为 $2x^2+2x-1=0$，解得 $x=\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}$．其中 $\frac{-1-\sqrt{3}}{2}⩽-1$ 符合本段定义域，而 $\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\in (0,1)$ 不符合，舍去．在 $|x|<1$ 上，方程化为 $1+2x=0$，解得 $x=-\frac{1}{2}$，符合本段定义域． 所以方程的解为 $x=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$ 或 $x=-\frac{1}{2}$． （2）记 $q(x)=2x^2+kx-1$． 在 $0<x<1$ 时，方程 $f(x)=0$ 为 $1+kx=0$，其解为 $x=-\frac{1}{k}$，该解属于 $(0,1)$ 的充要条件是 $k<-1$． 在 $1<x<2$ 时，方程为 $q(x)=0$．因为 $q(0)=-1<0$，且二次方程 $q(x)=0$ 的两根之积为 $-\frac{1}{2}<0$，所以它恰有一个正根．这个正根属于 $(1,2)$ 的充要条件是 $q(1)=k+1<0,q(2)=2k+7>0,\text{即}-\frac{7}{2}<k<-1.$ 在这个范围内，$0<x<1$ 和 $1<x<2$ 各有一个解，所以方程在 $(0,2)$ 上有两个解；反之若有两个解，也必须分别来自这两个区间，故 $k\in \left(-\frac{7}{2},-1\right)$． 不妨设 $x_1\in (0,1)$，$x_2\in (1,2)$．由前面的方程，$x_1=-\frac{1}{k}$，$2x_2^2+k{x}_2-1=0$．由第二式除以 $x_2>0$，得 $\frac{1}{x_2}=k+2x_2$．因而 $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-k+k+2x_2=2x_2<4,$ 结论得证． （易错点：分段后每段的根必须回头检验是否落在本段定义域内；（2）中 $x_1$，$x_2$ 不分大小时，“不妨设”即可，代换关系对两个根各自成立。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值方程根分布

核心方法：分段去绝对值，每段的根”求出后回头验定义域”；两段各恰一根等价于参数不等式组

避坑指南：$|x|⩾1$ 段的根 $\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\in (0,1)$ 不属于本段要舍去；$q(2)=2k+7>0$ 是下界来源，别只写 $q(1)<0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含绝对值函数的零点分布是函数与方程板块的压轴常客

结论推广：$|x^2-1|$ 的分段点 $\pm 1$ 是讨论的自然分界；两段根的存在条件化为参数不等式组

方法推广：根分布问题的通用套路：把”在区间 $(a,b)$ 内有根”翻译成端点函数值与判别式的联合条件；对称式 $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$ 的整体代换是收官技巧

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 20.16 零点问题

类题演练(Links)

• 2007-新课标卷文-24 解-绝对值不等式与分段函数最值
• 2014-上海卷文-09 填-分段函数最值
• 2009-山东卷文-14 填-函数零点
• 2010-上海卷文-17 单-对数方程零点区间