2014-上海卷文-09 填-分段函数最值

本题导读

分段函数的最小值控制问题。两段分别要求”都不低于 $f(0)$“，第一段给出 $a⩾0$，第二段给出 $a⩽2$。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(文)） 设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}(x-a{)}^2,& x⩽0,\\ x+\frac{1}{x}+a,& x>0,\end{array}$ 若 $f(0)$ 是 $f(x)$ 的最小值，则 $a$ 的取值范围为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先算 $f(0)=a^2$。
2. $x⩽0$ 段：$f(x)=(x-a{)}^2$，若 $a<0$ 则 $x=a$ 处取 $0$，比 $f(0)$ 小，矛盾。
3. $x>0$ 段：$x+\frac{1}{x}⩾2$，只需 $a^2⩽2+a$。

✅【答案】

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$[0,2]$

✍【详细解析】

Abstract

$f(0)=(0-a{)}^2=a^2$.

第一段（$x⩽0$）：$f(x)=(x-a{)}^2$。若 $a<0$，取 $x=a$（满足 $x⩽0$）得 $f(a)=0<a^2=f(0)$，$f(0)$ 不是最小值；故必须 $a⩾0$。当 $a⩾0$ 时，对任意 $x⩽0$ 有 $x⩽0⩽a$，从而 $(x-a{)}^2⩾(0-a{)}^2=a^2=f(0)$，该段符合要求。

第二段（$x>0$）：$x+\frac{1}{x}⩾2$（当 $x=1$ 取等），故 $f(x)⩾2+a$。要求 $f(0)⩽f(x)$ 对一切 $x>0$ 成立，只需

$a^2⩽2+a⟹a^2-a-2⩽0⟹-1⩽a⩽2.$

综上，$a\in [0,2]$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数的最小值；基本不等式；含参不等式。

2. 核心方法：“逐段列出不低于 $f(0)$ 的条件，再取交集”，是最稳的处理顺序。

3. 避坑指南：常见资料给出 $(-\infty ,2]$，漏掉了 $a<0$ 时第一段在 $x=a$ 处取到 $0<a^2$ 的反例；$a⩾0$ 这一层不可省。理科同题（选择题版）官方答案亦为 $[0,2]$，可交叉印证。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 上海卷的填空压轴区常设”分段函数 + 参数范围”，考查对每一段最值的完整控制。

2. 结论推广: 若把第一段改为 $(x-a{)}^2$（$x⩽1$），则取等位置移动，$a$ 的下界需重新用”$a$ 与区间位置”讨论。

3. 方法推广: “分段最值控制”问题统一按”逐段必要条件 → 联立 → 回验充分”三步完成。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-14 填-分段零点
• 2014-新课标I卷文-15 填-分段函数不等式