2016-全国卷III理-16 填-直线与圆相交

本题导读

本题考查直线与圆相交的性质、弦长公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(理)） 已知直线 $l:mx+y+3m-\sqrt{3}=0$ 与圆 $x^2+y^2=12$ 交于 $A,B$ 两点，过 $A,B$ 分别作 $l$ 的垂线与 $x$ 轴交于 $C,D$ 两点.若 $|AB|=2\sqrt{3}$，则 $|CD|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析直线定点：直线方程可化为 $m(x+3)+(y-\sqrt{3})=0$，说明直线恒过定点 $P(-3,\sqrt{3})$。注意到 $P$ 点在圆 $x^2+y^2=12$ 上。
2. 利用弦长求 $m$：圆半径 $R=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。已知弦长 $|AB|=2\sqrt{3}$，由垂径定理 $d^2+(\frac{|AB|}{2}{)}^2=R^2$ 可求出圆心到直线的距离 $d=3$。利用点到直线距离公式求出 $m$。
3. 确定倾斜角：根据斜率 $k=-m$ 确定直线 $l$ 的倾斜角 $\alpha$。
4. 几何转化：$AC,BD$ 均垂直于直线 $l$，说明 $AC\parallel BD$。线段 $CD$ 是线段 $AB$ 在 $x$ 轴上的某种投影。

• 设直线 $l$ 的倾斜角为 $\alpha$，则直线 $AC,BD$ 的倾斜角为 $\alpha +90^{\circ }$。
• 核心比例关系：$|AB|=|CD|\cdot |\cos (90^{\circ }-\alpha )|=|CD|\cdot \sin \alpha$（或通过过点 $A$ 作 $x$ 轴平行线构造直角三角形求解）。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 求圆心到直线的距离： 圆 $O$ 的半径 $R=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。 由 $|AB|=2\sqrt{3}$，得弦心距 $d=\sqrt{R^2-(\frac{|AB|}{2}{)}^2}=\sqrt{12-3}=3$。
2. 求 $m$ 及直线斜率： 圆心 $(0,0)$ 到直线 $mx+y+3m-\sqrt{3}=0$ 的距离： $d=\frac{|3m-\sqrt{3}|}{\sqrt{m^2+1}}=3$。 平方整理：$(3m-\sqrt{3}{)}^2=9(m^2+1)⟹9m^2-6\sqrt{3}m+3=9m^2+9$。 解得 $m=-\frac{\sqrt{3}}{3}$。 所以直线 $l$ 的斜率 $k=-m=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
3. 确定角度关系： 由 $\tan \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$ 得直线 $l$ 的倾斜角 $\alpha =30^{\circ }$。
4. 计算 $|CD|$： 过 $A,B$ 作直线 $l$ 的垂线，垂线与 $x$ 轴夹角为 $90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$。 在几何关系中，$|AB|$ 是 $|CD|$ 在直线 $l$ 方向上的射影。 $|CD|\cdot \sin \alpha =|AB|$（或利用直角三角形关系 $|CD|=\frac{|AB|}{\cos (90^{\circ }-\alpha )}$）。 $|CD|=\frac{|AB|}{\sin 30^{\circ }}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=4\sqrt{3}$。 (校对：原题解中结果为 4，需重新审视几何投影方向) 修正：若 $|CD|$ 为垂线在 $x$ 轴截得长度，由几何关系可知 $|CD|=\frac{|AB|}{|\cos (90^{\circ }-\alpha )|}=\frac{2\sqrt{3}}{\sin 30^{\circ }}=4\sqrt{3}$。 (注：若按图解中 $\sin 60^{\circ }$ 关系，则 $|CD|=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2}=4$)。 根据 $AC,BD\perp l$，它们与 $y$ 轴平行线的夹角为 $30^{\circ }$，与 $x$ 轴夹角为 $60^{\circ }$。 故 $|CD|=\frac{|AB|}{\cos (30^{\circ })}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2}=4$。

答案为：$4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 数形结合：压轴填空题往往不需要复杂的坐标运算，通过作图发现直线与坐标轴的夹角关系是解题捷径。
• 易错提醒：在处理投影长度时，务必分清哪个是斜边，哪个是直角边。本题中 $CD$ 是斜边。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 知识关联：本题考查了定点直线系、垂径定理、直线的交角等多个基础模块的综合，体现了解析几何“几何为主，代数为辅”的解题思路。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-20 解-直线与圆
• 2014-大纲卷理-19 解-直线与平面垂直的性质与判定
• 2014-天津卷理-17 解-空间中直线与直线垂直判定

专题合集 (Series)