2007-浙江卷理-06 单-空间两直线平行垂直

本题导读

本题主要考查立体几何中空间两条异面直线的几何性质。通过对通过定点的直线与已知两条异面直线平行、垂直、相交、异面等位置关系进行定性辨析，考查空间想象能力与逻辑推理能力。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(理)） 若 $P$ 是两条异面直线 $l,m$ 外的任意一点，则()

A. 过点 $P$ 有且仅有一条直线与 $l,m$ 都平行

B. 过点 $P$ 有且仅有一条直线与 $l,m$ 都垂直

C. 过点 $P$ 有且仅有一条直线与 $l,m$ 都相交

D. 过点 $P$ 有且仅有一条直线与 $l,m$ 都异面

🔍【思路分析】

破题导航

1. 空间中若一条直线同时平行于两条已知直线，则这两条已知直线必平行，由此检验 A；
2. 两异面直线的方向向量唯一确定一个法方向，过点 $P$ 以该法方向为方向向量的直线必然唯一存在，由此检验 B；
3. 通过过点 $P$ 与直线构造平面的交线情况分析相交和异面的可能性，由此检验 C、D。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

解： 对于 (A)：若存在直线过点 $P$ 且与 $l,m$ 都平行，由平行公理的传递性可得 $l\parallel m$，这与 $l,m$ 为异面直线矛盾，故不存在这样的直线，(A) 错误； 对于 (B)：设异面直线 $l,m$ 的方向向量分别为 $\mathbf{u},\mathbf{v}$。因为 $l,m$ 是异面直线，所以 $\mathbf{u}$ 与 $\mathbf{v}$ 不平行。 在空间中，与 $\mathbf{u},\mathbf{v}$ 都垂直的向量方向是唯一确定的（即法向量方向）。 因此，过定点 $P$ 且以该法向量为方向向量的直线有且仅有一条，它与 $l,m$ 都垂直，(B) 正确； 对于 (C)：过点 $P$ 与 $l$ 确定平面 $\alpha$，过点 $P$ 与 $m$ 确定平面 $\beta$，设 $\alpha \cap \beta =a$。若直线 $a$ 与 $l$ 或 $m$ 平行，则不存在同时相交的直线。因此并非“有且仅有一条”，可能为 0 条，(C) 错误； 对于 (D)：过点 $P$ 与 $l,m$ 都异面的直线有无数条，(D) 错误。 故选 (B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：异面直线的性质，空间任意直线的垂直方向唯一性。
2. 核心方法：向量方向数分析。
3. 避坑指南：

• 易错点在 (C) 选项，误认为交线一定相交。必须注意如果点 $P$ 所在的特殊位置使得平面交线恰好与其中一条异面直线平行，此时该线与这条直线无交点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为立体几何概念辨析选择题，源于教材中关于异面直线公垂线、空间向量基本定理部分的定理引申。
2. 结论推广：对任意空间两条不平行的直线（无论是相交还是异面），在空间中均有且仅有一个确定的方向与其两者都垂直。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-06 单-椭圆定义与性质
• 2019-全国卷III理-16 填-几何体体积