2007-浙江卷理-15 填-等差数列性质

本题导读

本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的计算。通过结合等差数列的性质建立概率间的等量方程，进而联立期望公式解出全部基础概率，最终利用方差公式求得结果，着重考查基本概念的理解与代数运算能力。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(理)） 随机变量 $\xi$ 的分布列如下：

$\xi$	$-1$	$0$	$1$
$P$	$a$	$b$	$c$

其中 $a,b,c$ 成等差数列. 若 $E\xi =\frac{1}{3}$，则 $D\xi$ 的值是$\underline{}$。

🔍【思路分析】

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1. 根据分布列的性质，所有概率之和为 1，即 $a+b+c=1$；
2. 结合 $a,b,c$ 成等差数列，利用等差中项性质 $2b=a+c$ 建立方程，解出 $b$ 的值并得到 $a+c$ 的值；
3. 利用数学期望公式 $E\xi =\frac{1}{3}$ 列出关于 $a,c$ 的方程，与前式联立解出 $a,c$；
4. 最后利用方差计算公式 $D\xi =E({\xi }^2)-(E\xi {)}^2$ 求出最终结果。

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$\frac{5}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据随机变量分布列的性质，各总概率之和为 1： $a+b+c=1\text{(1)}$ 因为 $a,b,c$ 成等差数列，由等差中项性质得： $2b=a+c\text{(2)}$ 将②代入①得： $3b=1⟹b=\frac{1}{3}$ 从而： $a+c=\frac{2}{3}\text{(3)}$

根据数学期望的定义： $E\xi =-1\times a+0\times b+1\times c=c-a=\frac{1}{3}\text{(4)}$ 联立③④构成方程组： $\{\begin{array}{l}c+a=\frac{2}{3}\\ c-a=\frac{1}{3}\end{array}⟹2c=1⟹c=\frac{1}{2},a=\frac{1}{6}$

计算 ${\xi }^2$ 的数学期望： $E({\xi }^2)=(-1{)}^2\times a+0^2\times b+1^2\times c=a+c=\frac{2}{3}$ 根据方差公式 $D\xi =E({\xi }^2)-(E\xi {)}^2$，代入数据得： $D\xi =\frac{2}{3}-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{2}{3}-\frac{1}{9}=\frac{5}{9}$ 故答案为 $\frac{5}{9}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：离散型随机变量分布列全域概率和为 1（$\sum P_i=1$）；方差的快捷计算公式 $D\xi =E({\xi }^2)-(E\xi {)}^2$。
2. 核心方法：方程组法。通过性质将题目中分散的代数条件转化为独立的多元方程组。
3. 避坑指南：求方差时，若采用常规公式 $D\xi =\sum (x_i-E\xi {)}^2{P}_i$ 进行计算，由于涉及分数减法，项数较多易发生运算失误；改用平方期望减去期望的平方能大幅度缩减运算步长。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的概率与数列跨章节小综合题，源自教材中对随机变量性质和等差数列基本量计算的综合考查。
2. 结论推广：对于形如取值为 $-1,0,1$ 且概率成等差数列的分布列，其对应的中间项概率 $b$ 恒为定值 $\frac{1}{3}$，此时该变量的方差最大值在 $b=\frac{1}{3},a=0,c=\frac{2}{3}$ 时取得，最大值为 $\frac{2}{3}-\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷理-15 填-正态分布与概率
• 2018-全国卷III理-18 解-茎叶图