2018-全国卷III理-18 解-茎叶图

本题导读

本题考查茎叶图的分析与比较。核心在于数据分析法、独立性检验法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III理）某工厂为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人随机分成两组，每组 20 人.根据完成任务的工作时间（单位：min）绘制了茎叶图（见上）.

(1) 根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

(2) 求 40 名工人完成任务所需时间的中位数 $m$，并填写 2×2 列联表；

(3) 能否有 99% 的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附：$K^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，

$P(K^2\ge k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（定性分析）：

• 效率高 = 耗时少。
• 观察茎叶图，第一种方式的数据大多集中在“80-90”段，而第二种方式的数据大多集中在“70”段上下。
• 可以从平均数估计、中位数估计或数据分布区间给出理由。

2. 第二问（定量统计）：

• 中位数 $m$：将 40 个数据从小到大排列，取第 20 和第 21 个数的平均值。
• 填表：根据 $m=80$，分别统计第一组和第二组中大于 80 和小于等于 80 的人数。

3. 第三问（卡方检验）：

• 直接代入卡方公式 $K^2$ 计算。
• 将计算结果与临界值 $6.635$ 比较，得出结论。

✅【答案】

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(1) 第二种生产方式效率更高

(2) $m=80$，列联表：第一种超过 $m$ 的有 15 人、不超过 5 人；第二种超过 5 人、不超过 15 人

(3) $K^2=10>6.635$，有 99% 的把握认为两种生产方式效率有差异

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 第二种生产方式的效率更高。 理由如下（给出一种即可）：

• 理由一（中位数角度）：第一种方式的工作时间中位数约为 86，第二种约为 74，第二种方式完成任务所需的平均时间明显更短。
• 理由二（分布角度）：从茎叶图看，第二种方式的数据分布整体比第一种方式更靠近上方（数值较小区域），说明大部分工人用第二种方式耗时更少。

(2)解： 将 40 名工人的时间排序，第 20 位是 79，第 21 位是 81， 故中位数 $m=\frac{79+81}{2}=80$。 填写列联表如下：

	超过 $m$ ( > 80)	不超过 $m$ ( $\le$ 80)	合计
第一种生产方式	15	5	20
第二种生产方式	5	15	20
合计	20	20	40

(3)解： 根据列联表数据代入公式计算 $K^2$ 的观测值： $K^2=\frac{40\times (15\times 15-5\times 5{)}^2}{20\times 20\times 20\times 20}$ $K^2=\frac{40\times (225-25{)}^2}{160000}=\frac{40\times 200^2}{160000}=\frac{40\times 40000}{160000}=10$ 因为 $10>6.635$， 所以有 99% 的把握认为两种生产方式的效率有差异。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 中位数的确定：数据量为偶数时，中位数是中间两个数的平均数。找中位数时要利用茎叶图有序排列的特性，细心数准位置。
2. $K^2$ 的计算技巧：在列联表行列合计数相等（如本题均为 20）时，计算会极大简化。
3. 结论表述：必须严格按照“有 XX% 的把握认为…”这种统计学话术回答，不能直接说“一定有差异”。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累：

• 左侧数据读取：注意左侧叶子通常是从茎向左从小到大排列。
• 平均数 vs 中位数：茎叶图能直观反映分布的“单峰”或“双峰”特征。若分布对称，中位数与平均数接近；若分布偏态，则需谨慎选择代表值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.02 百分位数与四分位数
• 24.02 独立性检验与 2X2 列联表

类题演练 (Links)

• 2010-浙江卷文-11 填-茎叶图中位数
• 2010-福建卷文-09 单-茎叶图中位数平均数
• 2014-江西卷理-06 单-卡方统计量 chi^2