2007-浙江卷理-16 填-面面垂直判定定理

本题导读

本题是一道极具思维深度的空间几何概念辨析题。核心考查空间线面角、线线角与二面角之间的内在逻辑关联。题目通过对一个动角下界的限制，隐式考查了立体几何中的“最小角定理”，进而通过射影位置判定面面垂直。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(理)） 已知点 $O$ 在二面角 $\alpha -AB-\beta$ 的棱上，点 $P$ 在 $\alpha$ 内，且 $\angle POB=45^{\circ }$。若对于 $\beta$ 内异于 $O$ 的任意一点 $Q$，都有 $\angle POQ\ge 45^{\circ }$，则二面角 $\alpha -AB-\beta$ 的大小是$\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 $\angle POQ$ 的几何意义：由于 $Q$ 是平面 $\beta$ 内的任意动点， $\angle POQ$ 表示固定直线 $OP$ 与平面 $\beta$ 内任意直线 $OQ$ 所成的夹角。
2. 根据立体几何中的“最小角定理”，斜线与平面内所有直线所成角中，斜线与它在平面内的射影所成的角（即线面角）是最小的。
3. 题目已知对任意点 $Q$，恒有 $\angle POQ\ge 45^{\circ }$，且当 $Q$ 在棱 $AB$（属于平面 $\beta$）上时， $\angle POB=45^{\circ }$ 正好达到该下界。这说明 $OP$ 在平面 $\beta$ 内的射影就是棱 $AB$。
4. 既然射影落在棱上，结合线面垂直与面面垂直的转化即可确定二面角的大小。

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$90^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{2}$）

✍【详细解析】

Abstract

解： 在空间中，点 $P$ 是平面 $\alpha$ 内的一个定点，直线 $OP$ 与棱 $AB$ 的夹角为 $\angle POB=45^{\circ }$。 因为棱 $AB\subset$ 平面 $\beta$，所以直线 $AB$ 是平面 $\beta$ 内的一条特定直线。 对于平面 $\beta$ 内异于 $O$ 的任意一点 $Q$，直线 $OQ$ 构成了平面 $\beta$ 内的所有过点 $O$ 的直线集合。

根据最小角定理：一条斜线与平面内所有直线所成的角中，斜线与它在该平面内的射影所成的角最小。 题目已知对于平面 $\beta$ 内的任意直线 $OQ$，恒有 $\angle POQ\ge 45^{\circ }$。 而当 $Q$ 在棱 $AB$ 上时， $\angle POB=45^{\circ }$ 恰好等于这个最小角。 这唯一说明：直线 $OP$ 在平面 $\beta$ 内的正射影就是棱直线 $AB$。

既然直线 $OP$ 在平面 $\beta$ 内的射影是 $AB$，过点 $P$ 作平面 $\beta$ 的垂线，垂足为 $H$。 则垂足 $H$ 必然落在其射影直线 $AB$ 上，即 $H\in AB$。 因为 $PH\perp$ 平面 $\beta$，且 $PH\subset$ 平面 $\alpha$（因为 $P\in \alpha$ 且 $H\in AB\subset \alpha$）， 根据面面垂直的判定定理（一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直）， 可得平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$。 因此，二面角 $\alpha -AB-\beta$ 的大小为 $90^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{2}$）。

故答案为 $90^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{2}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面角是斜线与平面内所有直线所成角中最小的角（最小角定理）；二面角的平面角及其与面面垂直的关系。
2. 核心方法：定性几何推理法。通过抓住临界最小值对应的直线判定出射影线的空间位置。
3. 避坑指南：本题极易因缺乏直观想象而无从下手。学生往往习惯于定量计算，面对全称量词“任意一点 $Q$”容易陷入建系设坐标的复杂运算泥潭。紧扣“$45^{\circ }$既是已知角又是下界”这一特征，直接将其转化为“棱即为射影”是唯一的破题关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题取材于高等几何或高中立体几何选修中关于空间角大小规律的高观点理论。通过抽象的语言包装，考查空间几何定理的逆向辨析。
2. 结论推广：**最小角定理（Theorem of Minimum Angle）**的标准形式为：设斜线与平面所成的角为 ${\theta }_0$，斜线与平面内任意直线所成的角为 $\theta$，斜线在平面内的射影与该直线所成的角为 $\phi$，则恒有 $\cos \theta =\cos {\theta }_0\cdot \cos \phi \le \cos {\theta }_0⟹\theta \ge {\theta }_0$。当且仅当 $\phi =0$（即该直线与射影线重合）时， $\theta$ 取得最小值 ${\theta }_0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷理-16 填-立体几何
• 2016-全国卷I理-11 单-立体几何