2007-浙江卷理-22 解-曲线切线方程凸凹性

本题导读

本题是一道导数综合压轴题。第一问考查常规的函数导数与单调区间求解；第二问属于含参不等式的证明，表面上面临双变量交织的困难，但其高等数学背景是三次函数的切线包络。通过代数换元或利用切线始终在单调凹曲线下方的几何性质，可实现快速严谨的论证。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(理)） 设 $f(x)=\frac{x^3}{3}$，对任意实数 $t$，记 $g_t(x)=t^{\frac{2}{3}}x-\frac{2}{3}t$。

(1) 求函数 $y=f(x)-g_8(x)$ 的单调区间；

(2) 求证： ① 当 $x>0$ 时，$f(x)\ge g_t(x)$ 对任意实数 $t$ 成立； ② 有且仅有一个正实数 $x_0$，使得 $g_8(x_0)\ge g_t(x_0)$ 对任意实数 $t$ 成立。

🔍【思路分析】

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1. 对于(1)，将 $t=8$ 代入得到 $g_8(x)=4x-\frac{16}{3}$，对综合函数求导，通过导函数的零点划分区间判定正负号，从而写出单调区间；
2. 对于(2)①，将问题转化为求 $f(x)-g_t(x)\ge 0$。根据高中数学定义，分数指数幂的底数满足 $t\ge 0$。通过换元令 $u=t^{\frac{1}{3}}\ge 0$，将其化为关于 $u$ 的三次多项式，求导寻找最小值即可；
3. 对于(2)②，由条件知当 $t=8$ 时等号显然成立，若要对任意 $t\ge 0$ 恒成立，意味着以 $u$ 为自变量的函数在 $u=2$ 处必须取得全局最大值，利用极值点唯一性即可锁定 $x_0$ 的值。

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函数 $y$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,-2)$ 和 $(2,+\infty )$，单调递减区间为 $(-2,2)$

✍【详细解析】

Abstract

解： (1) 当 $t=8$ 时， $g_8(x)=8^{\frac{2}{3}}x-\frac{2}{3}\times 8=4x-\frac{16}{3}$。 则 $y=f(x)-g_8(x)=\frac{x^3}{3}-4x+\frac{16}{3}$。 对 $y$ 求导得： $y^{\prime }=x^2-4=(x-2)(x+2)$ 令 $y^{\prime }=0$，解得 $x_1=-2,x_2=2$。

• 当 $x\in (-\infty ,-2)$ 或 $x\in (2,+\infty )$ 时， $y^{\prime }>0$，函数单调递增；
• 当 $x\in (-2,2)$ 时， $y^{\prime }<0$，函数单调递减。 综上所述，函数 $y$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,-2)$ 和 $(2,+\infty )$，单调递减区间为 $(-2,2)$。

(2) 证明： ① 要证 $f(x)\ge g_t(x)$，即证 $\frac{x^3}{3}-t^{\frac{2}{3}}x+\frac{2}{3}t\ge 0$。 由题意，要使分数指数幂 $t^{\frac{2}{3}}$ 有意义，必有 $t\ge 0$。 设 $u=t^{\frac{1}{3}}$ ($u\ge 0$)，则原式等价于证明： $\frac{2}{3}{u}^3-x{u}^2+\frac{x^3}{3}\ge 0$ 针对给定正数 $x>0$，构造关于 $u$ 的函数 $F(u)=\frac{2}{3}{u}^3-x{u}^2+\frac{x^3}{3}$ ($u\ge 0$)。 对 $u$ 求导得： $F^{\prime }(u)=2u^2-2xu=2u(u-x)$ 令 $F^{\prime }(u)=0$，因 $x>0$，得非负根 $u=0$ 或 $u=x$。

• 当 $u\in (0,x)$ 时， $F^{\prime }(u)<0$， $F(u)$ 单调递减；
• 当 $u\in (x,+\infty )$ 时， $F^{\prime }(u)>0$， $F(u)$ 单调递增。 因此，当 $u=x$ 时， $F(u)$ 取得在 $[0,+\infty )$ 上的极小值，亦为最小值。 $F(u{)}_{\min }=F(x)=\frac{2}{3}{x}^3-x\cdot x^2+\frac{x^3}{3}=0$ 故 $F(u)\ge F(x)=0$ 恒成立，即 $f(x)\ge g_t(x)$ 对任意实数 $t$ 成立。

② 变形已知不等式 $g_8(x_0)\ge g_t(x_0)$ 得： $4x_0-\frac{16}{3}\ge t^{\frac{2}{3}}{x}_0-\frac{2}{3}t⟹\frac{2}{3}t-x_0{t}^{\frac{2}{3}}+4x_0-\frac{16}{3}\ge 0$ 同理，令 $u=t^{\frac{1}{3}}\ge 0$，构造关于 $u$ 的函数： $G(u)=\frac{2}{3}{u}^3-x_0{u}^2+4x_0-\frac{16}{3}\ge 0$ 要使 $G(u)\ge 0$ 对任意 $u\ge 0$ 恒成立。 由①的单调性分析可知， $G(u)$ 的最小值在 $u=x_0$ 处取得，即 $G(u{)}_{\min }=G(x_0)$。 因此必须满足： $G(x_0)=-\frac{1}{3}{x}_0^3+4x_0-\frac{16}{3}\ge 0\text{(*) }$ 又注意到当 $t=8$ 即 $u=2$ 时， $G(2)=\frac{2}{3}\times 8-4x_0+4x_0-\frac{16}{3}=0$ 恒成立。 由于最低点的值 $G(x_0)$ 是全域最小值，必然有 $G(x_0)\le G(2)=0$。 联立 () 式得： $G(x_0)=0$。 由于全域最小值等于 0，且 $G(2)=0$，而 $G(u)$ 在 $(0,+\infty )$ 上的唯一最小值点为 $u=x_0$， 因此极值点与已知零点必须重合，即： $x_0=2$ 经验证，当 $x_0=2$ 时， () 式 $-\frac{1}{3}\times 8+4\times 2-\frac{16}{3}=0\ge 0$ 成立，且此时 $G(u)=\frac{2}{3}(u-2{)}^2(u+4)\ge 0$ 对任意 $u\ge 0$ 恒成立。 故有且仅有一个正实数 $x_0=2$ 满足题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：利用导数求最值，双变量不等式的单变量转化特征。
2. 核心方法：代数换元降幂法。通过 $u=t^{\frac{1}{3}}$ 将非线性超越不等式转化为标准单变量三次多项式。
3. 避坑指南：第(2)问②中，切忌盲目对 $G(x_0)\ge 0$ 对应的三次不等式进行复杂的区间根分布讨论。抓住 $G(2)=0$ 这一天然临界特征，利用“若最小值 $\ge 0$ 且某点等于 0，则该点必为最小值点”的逻辑，可以直接完成唯一性锁定。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题具有极强的高等数学几何背景。对于函数 $f(x)=\frac{x^3}{3}$ ($x>0$)，其在任意点 $x_1=t^{\frac{1}{3}}$ 处的切线方程由点斜式可得： $y-\frac{t}{3}=(t^{\frac{1}{3}}{)}^2(x-t^{\frac{1}{3}})⟹y=t^{\frac{2}{3}}x-\frac{2}{3}t$。这正是 $g_t(x)$ 的解析式。
2. 结论推广：由于 $f(x)=\frac{x^3}{3}$ 在 $x>0$ 时满足 $f^{\prime \prime }(x)=2x>0$，属严格下凸函数。根据凸函数性质，曲线上的任意切线恒在曲线下方，故 ① $f(x)\ge g_t(x)$ 恒成立。而 ② 则是问哪一个点 $x_0$ 处的固定切线（ $t=8$ 对应的切线）在所有切线簇中位置最高，显然只有当切点重合时（即 $t^{\frac{1}{3}}=8^{\frac{1}{3}}=2$）成立，故 $x_0=2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 03.01 不等式解法体系
• 20.15 函数凹凸性定义

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷理-21 解-抛物线焦点
• 2019-全国卷I理-20 解-导数综合