20.15 函数凹凸性定义

🟦 凹凸性与拐点 (Concavity & Inflection Points)

1. 凹凸性定义

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续

(1) 若 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ 则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是下凸函数（凸函数）。

(2) 若 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ 则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是上凸函数（凹函数）。

2. 凹凸函数判定定理

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内具有二阶导数

(1) 若在 $(a,b)$ 内 $f^{\prime \prime }(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是下凸函数

(2) 若在 $(a,b)$ 内 $f^{\prime \prime }(x)<0$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是上凸函数

3. 凹凸函数性质

(1) 若 $f(x)$ 是下凸函数，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的切线均在 $f(x)$ 图像的下方

(2) 若 $f(x)$ 是上凸函数，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的切线均在 $f(x)$ 图像的上方

4. 拐点定义

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，$x_0\in (a,b)$，若函数 $f(x)$ 图像经过 $(x_0,f(x_0))$ 时凹凸性发生改变，则点 $(x_0,f(x_0))$ 为 $f(x)$ 的拐点。

5. 拐点判定定理

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内具有二阶导数

• 充分性：若点 $(x_0,f(x_0))$ 为 $f^{\prime \prime }(x)$ 的变号零点，则 $(x_0,f(x_0))$ 为 $f(x)$ 的拐点；
• 必要性：若点 $(x_0,f(x_0))$ 为 $f(x)$ 的拐点，则 $f^{\prime \prime }(x_0)=0$。

6. 拐点性质

在函数 $f(x)$ 拐点处的切线穿过函数 $f(x)$ 的图像。特别地，函数 $f(x)=x^3$ 在拐点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $y=0$。

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