2007-湖北卷文-07 单-线性规划最值

本题导读

本题考查排列组合，以及古典概型。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(文)） 将 $5$ 本不同的书全发给 $4$ 名同学，每名同学至少有一本书的概率是 ()

A. $\frac{15}{64}$　　　　　B. $\frac{15}{128}$　　　　　C. $\frac{24}{125}$　　　　　D. $\frac{48}{125}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 每本书 4 种给法：基本事件 $4^5=1024$。
2. 每人至少一本 = 恰好一人得 2 本（5 本书 4 个人）：捆绑那 2 本 $C_5^2$，连同其余 3 本共 4 个”组”全排列 $4!$，共 $10\times 24=240$。
3. $P=\frac{240}{1024}=\frac{15}{64}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

每本书都有 $4$ 种给法，基本事件总数 $4^5=1024$． ”$5$ 本分给 $4$ 人、每人至少一本”$⟺$ 恰有一人得 $2$ 本、其余三人各得 $1$ 本： 选出合得 $2$ 本的人不固定，先捆绑 $2$ 本：$C_5^2=10$ 种，再将这 $4$ “组”（一对书 + 三本单书）全排列给 $4$ 人：$4!=24$ 种， 故有利事件数 $=10\times 24=240$． 所求概率 $P=\frac{240}{1024}=\frac{15}{64}$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划最值

核心方法：画可行域，目标函数 $z=x+2y$ 在顶点处取最值

避坑指南：约束含 $x⩾0$ 等边界；顶点完整枚举，别漏可行域顶点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划求最值，2007 新课标首批考题

结论推广：目标函数在可行域顶点取最值

方法推广：线性规划：画域、定顶点、代目标、比大小

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略
• 15.01 古典概型

类题演练(Links)

• 2007-上海卷文-09 填-古典概型组合
• 2008-上海卷文-08 填-五点取三古典概型
• 2007-辽宁卷文-10 单-古典概型编号球
• 2009-江西卷文-18 解-独立重复概率