2007-辽宁卷文-10 单-古典概型编号球

本题导读

本题考查古典概型，以及组合计数。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(文)） 一个坛子里有编号为 $1$，$2$，$\cdots$，$12$ 的 $12$ 个大小相同的球，其中 $1$ 到 $6$ 号球是红球，其余的是黑球．若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 $1$ 个球的号码是偶数的概率为 ()

A. $\frac{1}{22}$　　　　　　B. $\frac{1}{11}$　　　　　　C. $\frac{3}{22}$　　　　　　D. $\frac{2}{11}$

🔍【思路分析】

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1. 总取法 ${\mathrm{C}}_{12}^2=66$。
2. 在”都是红球”内用补集：全是红球 ${\mathrm{C}}_6^2$ 种，减去两个都是奇号红球 ${\mathrm{C}}_3^2$ 种（奇号为 1,3,5）。
3. 概率 = 有利场合 / 总数。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

从 $12$ 个球中任取两个，基本事件总数 ${\mathrm{C}}_{12}^2=66$． 满足”都是红球”的取法有 ${\mathrm{C}}_6^2=15$ 种，其中”两个号码都是奇数”（取自 $1,3,5$）的有 ${\mathrm{C}}_3^2=3$ 种，故”都是红球且至少一个号码为偶数”的取法数为 ${\mathrm{C}}_6^2-{\mathrm{C}}_3^2=15-3=12.$ 所求概率为 $P=\frac{12}{66}=\frac{2}{11},$ 选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型编号球

核心方法：组合计数作比，红球内取补集

避坑指南：“都是红球且至少一个偶号”在”都是红球”内部用补集：C(6,2)-C(3,2)，不是从 12 个球里直接数；奇号红球只有 1,3,5 三个

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”古典概型”

结论推广：多重限制条件时在较小的限制层内取补集，比直接正面分类少出错

方法推广：“至少一个”类计数优先想”全部减全无”

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练(Links)

• 2008-浙江卷文-19 解-摸球古典概型
• 2010-江苏卷-03 填-摸球古典概型
• 2008-上海卷文-08 填-五点取三古典概型
• 2012-安徽卷文-10 单-古典概型摸球