2007-湖北卷文-18 解-利润函数最值应用

本题导读

本题考查函数建模。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(文)） 某商品每件成本 $9$ 元，售价 $30$ 元，每星期卖出 $432$ 件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 $x$（单位：元，$0⩽x⩽30$）的平方成正比．已知商品单价降低 $2$ 元时，一星期多卖出 $24$ 件． （1）将一个星期的商品销售利润表示成 $x$ 的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

🔍【思路分析】

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（1）多卖 $k{x}^2$ 件，$x=2$ 时 $24=4k\Rightarrow k=6$；单件利润 $30-x-9=21-x$，$P(x)=(21-x)(432+6x^2)$（$0⩽x⩽30$）。 （2）$P^{\prime }(x)=-432+126x-18x^2=-18(x-2)(x-12)$；$x\in (2,12)$ 递增、$(12,30)$ 递减，$x=12$ 极大即最大，定价 $18$ 元。

✅【答案】

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（1）$P(x)=(21-x)(432+6x^2)$，$0⩽x⩽30$；（2）定价 $18$ 元时利润最大

✍【详细解析】

Abstract

（1）设多卖出的件数为 $k{x}^2$，由 $x=2$ 时多卖 $24$ 件：$4k=24$，$k=6$． 降价 $x$ 元后单件利润为 $30-x-9=21-x$ 元，销量 $432+6x^2$ 件， 故 $P(x)=(21-x)(432+6x^2)$，$0⩽x⩽30$． （2）$P(x)=-6x^3+126x^2-432\times 21+9072-6\cdot 432\cdot \frac{21}{21}$… 直接展开：$P(x)=9072+126x^2-432x-6x^3$． $P^{\prime }(x)=252x-432-18x^2=-18(x^2-14x+24)=-18(x-2)(x-12).$ $0<x<2$ 时 $P^{\prime }<0$ 递减；$2<x<12$ 时 $P^{\prime }>0$ 递增；$12<x<30$ 时 $P^{\prime }<0$ 递减． 故 $x=12$ 为极大值点，也是最大值点（比较 $P(0)=9072$，$P(12)=9\times (432+864)=11664$）． 所以降价 $12$ 元，即定价 $30-12=18$ 元时，一个星期的利润最大．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：利润函数最值应用

核心方法：利润 = 收入 − 成本，构造关于定价的函数，求导或配方求最值

避坑指南：单价与销量是函数关系（弹性）；定义域是正整数/实际范围

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：利润函数最值，函数应用大题（经济模型）

结论推广：利润 = 收入 − 成本；求导/配方求极值

方法推广：应用题先建函数模型，注意定义域与实际意义

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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类题演练(Links)

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