2008-江苏卷-17 解-管道优化设计

本题导读

污水处理厂选址优化题：$O$ 在 $AB$ 中垂线上，两种设元（角 $\theta$ 或长度 $x$）各得一个函数，第(2)问任选其一用导数求最短总长。

📌【题干】

Question

（2008年江苏卷） 某地有三家工厂，分别位于矩形 $ABCD$ 的两个顶点 $A$，$B$ 及 $CD$ 的中点 $P$ 处，已知 $AB=20$ km，$BC=10$ km. 为了处理三家工厂的污水，现要在矩形区域上（含边界），且与 $A$，$B$ 等距离的一点 $O$ 处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道 $AO$，$BO$，$PO$. 记排污管道的总长度为 $y$ km.

(1)按下列要求写出函数关系式： ①设 $\angle BAO=\theta$（rad），将 $y$ 表示为 $\theta$ 的函数； ②设 $OP=x$（km），将 $y$ 表示为 $x$ 的函数；

(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $O$ 与 $A$、$B$ 等距，故 $O$ 在 $AB$ 的垂直平分线上，建系设 $O=(10,t)$。
2. ①用直角三角形把 $AO$ 与 $OP$ 都化成 $\theta$ 的式子；②直接用勾股定理。
3. (2) 对所选函数求导，由单调性定最小值点。

✅【答案】

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(1)①$y=10(2\sec \theta -\tan \theta +1)$，$\theta \in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]$；②$y=2\sqrt{100+(10-x{)}^2}+x$，$x\in [0,10]$；(2)$\theta =\frac{\pi }{6}$ 时 $y_{\min }=10(\sqrt{3}+1)$ km，$O$ 在 $AB$ 的垂直平分线上距 $AB$ 为 $\frac{10\sqrt{3}}{3}$ km 处

✍【详细解析】

Abstract

因为 $OA=OB$，所以 $O$ 在 $AB$ 的垂直平分线上。取 $A=(0,0)$，$B=(20,0)$，则 $P=(10,10)$，设 $O=(10,t)$，$0⩽t⩽10$。 (1)①设 $\angle BAO=\theta$。由 $O$ 在矩形内得 $0⩽\theta ⩽\frac{\pi }{4}$，且 $AO=BO=\frac{10}{\cos \theta }$，$OP=10-10\tan \theta$， 故 $y=\frac{20}{\cos \theta }+10-10\tan \theta =10(2\sec \theta -\tan \theta +1)$，$\theta \in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]$。 ②设 $OP=x$，则 $0⩽x⩽10$，$O=(10,10-x)$，$AO=BO=\sqrt{10^2+(10-x{)}^2}$， 故 $y=2\sqrt{100+(10-x{)}^2}+x$，$x\in [0,10]$。 (2)选用①：$y^{\prime }(\theta )=10\left(2\sec \theta \tan \theta -{\sec }^2\theta \right)=\frac{10(2\sin \theta -1)}{{\cos }^2\theta }$。 当 $0⩽\theta <\frac{\pi }{6}$ 时 $y^{\prime }(\theta )<0$，当 $\frac{\pi }{6}<\theta ⩽\frac{\pi }{4}$ 时 $y^{\prime }(\theta )>0$， 故 $\theta =\frac{\pi }{6}$ 时总长度最短，$y_{\min }=10\left(\frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right)=10(\sqrt{3}+1)$。 此时 $OP=10-10\tan \frac{\pi }{6}=10-\frac{10\sqrt{3}}{3}=\frac{10(3-\sqrt{3})}{3}$，即污水处理厂位于 $AB$ 的垂直平分线上、距 $AB$ 边 $\frac{10\sqrt{3}}{3}$ km 处（$t=\frac{10\sqrt{3}}{3}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数建模与导数求最值

核心方法：垂直平分线定位，三角或勾股设元，导数定最值

避坑指南：自变量范围由矩形边界限定（$0⩽\theta ⩽\frac{\pi }{4}$）；答位置时要说清”在 $AB$ 中垂线上距 $AB$ 多远”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 浙江文第 21 题、2010 福建文第 21 题同为函数应用题。

结论推广：优化问题的统一框架：设元、建模、求导、答位置。

方法推广：实际问题的最值要落到”位置在哪”的表述上，只给最小值不完整。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2010-福建卷文-21 解-航行相遇解三角形应用
• 2011-湖北卷文-19 解-分段函数建模最值
• 2009-浙江卷文-21 解-导数切线与单调性
• 2010-山东卷文-21 解-导数切线与单调性