本题导读
本题考查立体几何中空间两条直线在其外平面的正射影与原直线的平行、垂直、相交等几何命题的真伪判定。属于难度较大的立体几何概念辨析题，需要通过空间想象力及熟练利用长方体框架构造反例来一一攻克。
📌【题干】
Question
（2007年湖北卷(理)） 平面 外有两条直线 和 ，如果 和 在平面 内的射影分别是 和 ，给出下列四个命题： ① ； ② ； ③ 与 相交 与 相交或重合； ④ 与 平行 与 平行或重合. 其中不正确的命题个数是()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
🔍【思路分析】
破题导航
- 分析 ① 命题：射影垂直，原直线是否一定垂直？
- 构造反例：设直线 垂直于平面 ，则其射影 是一个点。题目说明 是直线，故 均不垂直于面。
- 即便 是一般相交线且垂直，我们可以把 绕着它的投射面任意翘起旋转，原两直线可以呈任意夹角或异面。故 ① 错误。
- 分析 ② 命题：原直线垂直，射影是否一定垂直？
- 根据三垂线定理，需其中一条直线平行于平面（或在面内），射影才垂直。
- 若两条直线均与平面倾斜且在空间垂直（如两条互为异面的倾斜直线），它们的正射影完全可以相交成任意非直角。故 ② 错误。
- 分析 ③ 命题：射影相交，原直线一定相交或重合吗？
- 极其容易找到反例：两条异面直线，其正射影在底面完全可以表现为两个标准的相交直线。故 ③ 错误。
- 分析 ④ 命题：射影平行，原直线一定平行或重合吗？
同样可以通过长方体轻松戳穿：两条异面直线（如一高一低、方向相同的两条错位倾斜线），投影到底面完全是平行的。故 ④ 错误。
✅【答案】
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D
✍【详细解析】
Abstract
解：我们在长方体空间几何物理模型中，对四个涉及“正射影”的命题逐一寻找反例展开判定：
- 对于 ① 命题：若在底面 内两射影直线 ， 原直线 与 并不需要垂直。因为我们可以保持射影不变，将空间中的直线 绕其投影面任意倾斜拉升，使其在空间中成为任意夹角的异面直线。故 ① 为假命题；
- 对于 ② 命题：若空间两直线 ， 只有当其中一条直线平行于投影面（或在面内）时，根据三垂线定理其射影才垂直。若两条直线都是相对于平面 的倾斜直线，它们在空间垂直时，投射到底面的正射影 与 往往是普通的非直角相交线。故 ② 为假命题；
- 对于 ③ 命题：当射影 与 在底面相交于一点时，空间中对应的两条直线 与 完全可以互为异面直线。例如长方体的一条侧棱与一条不与之相交的顶面倾斜线，它们的投影相交，但空间中两线并不相交也不重合。故 ③ 为假命题；
- 对于 ④ 命题：当射影 与 在底面平行时，原空间直线 与 除了平行或重合之外，最经典的位置关系是异面直线。例如， 将长方体顶面的两条平行边，将其中的一条边的一端向上抬高拉伸成倾斜线，此时它们在底面的正射影依旧保持平行，但在空间中这两条直线已经是彻头彻尾的异面直线。故 ④ 为假命题。
综上所述，①、②、③、④ 四个命题全部都是不正确的。 不正确的命题个数累计为 4 个。
故选：D。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：正射影位置关系的“降维失真性”、三垂线定理的单向性、异面直线在面内投影的多样性。
- 核心方法：长方体框架边线定性反例排除法。
- 避坑指南：
空间直线正射影问题是立体几何最易丢分的重灾区。切记一句话：“投影平行不代表原线平行，投影垂直不代表原线垂直”。
空间直线降维投影到平面后， 会大量丢失原有的“异面”维度的空间信息。做此类题时， 本能地在脑海中用“异面直线”去冲撞每一个选项，往往能瞬间找出推导不成立的强力反例。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源: 改编自高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》中关于正射影性质的课后复习思考大题。
结论推广: 空间任意异面直线对， 只要它们不与投影面垂直， 其正射影的位置关系可以呈现为平行、相交或重合（当两线共面于一垂直投射面时）的任意一种可能。
🔗【关联脉络】
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