2007-湖北卷理-07 单-圆锥曲线统一定义

本题导读

本题是一道将双曲线与抛物线完美融合的圆锥曲线高难度综合选择题。题目给出两条曲线共用左准线及右焦点，核心在于通过双曲线与抛物线的核心定义，将复杂的交点焦半径比值关系全部转化为点到准线距离的几何投影，实现化繁为简。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(理)） 双曲线 $C_1:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的左准线为 $l$，左焦点和右焦点分别为 $F_1$ 和 $F_2$；抛物线 $C_2$ 的准线为 $l$，焦点为 $F_2$； $C_1$ 与 $C_2$ 的一个交点为 $M$，则 $\frac{|F_1{F}_2|}{|M{F}_1|}-\frac{|M{F}_1|}{|M{F}_2|}$ 等于()

A. $-1$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $-\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

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A

✍【详细解析】

Abstract

• 双曲线的左准线方程为 $l:x=-\frac{a^2}{c}$。
• 抛物线 $C_2$ 的准线也是 $l$，且焦点为双曲线的右焦点 $F_2(c,0)$。
• 根据抛物线对称性，其顶点位于焦点与准线的中点，焦准距为 $p=c-\left(-\frac{a^2}{c}\right)=c+\frac{a^2}{c}=\frac{c^2+a^2}{c}$。

2. 运用抛物线定义转化 $|M{F}_2|$：

• 设交点 $M$ 到左准线 $l$ 的垂直距离为 $d$。
• 依据抛物线定义， $M$ 在抛物线上 $⟹|M{F}_2|=d$。

3. 运用双曲线第二定义转化 $|M{F}_1|$：

• 依据圆锥曲线统一定义，双曲线上的点到焦点的距离与到对应准线的距离之比等于离心率 $e$。
• 点 $M$ 到左焦点 $F_1$ 的距离与到左准线 $l$ 的距离 $d$ 之比等于 $e=\frac{c}{a}$。
• 故 $\frac{|M{F}_1|}{d}=e⟹|M{F}_1|=e\cdot d$。

4. 代入目标分式化简：

• 焦距 $|F_1{F}_2|=2c$。
• 目标式： $\frac{2c}{e\cdot d}-\frac{e\cdot d}{d}=\frac{2c}{\frac{c}{a}d}-e=\frac{2a}{d}-\frac{c}{a}$。慢着，这样无法消除 $d$。

5. 修正双曲线定义（第一定义联动）：

• 依据双曲线第一定义： $M$ 在右支还是左支？抛物线开口向右且准线在左边，交点 $M$ 必然在双曲线右支。

• 故 $|M{F}_1|-|M{F}_2|=2a$。

• 代入已知： $|M{F}_2|=d,|M{F}_1|=ed$。

• 故 $ed-d=2a⟹d(e-1)=2a⟹d=\frac{2a}{e-1}$。

• 代回目标式： $\frac{2c}{|M{F}_1|}-\frac{|M{F}_1|}{|M{F}_2|}=\frac{2c}{ed}-\frac{ed}{d}=\frac{2c}{e\cdot \frac{2a}{e-1}}-e=\frac{2c(e-1)}{2ae}-e$。

• 因为 $ae=c$， 故 $\frac{2c(e-1)}{2c}-e=(e-1)-e=-1$。

✍ 〖详细解析〗

解：设交点 $M$ 到双曲线左准线（同时也是抛物线准线） $l$ 的垂直距离为 $d$。

1. 利用抛物线的定义： 因为点 $M$ 在以 $F_2$ 为焦点、直线 $l$ 为准线的抛物线 $C_2$ 上，根据抛物线的几何定义， 抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离： $|M{F}_2|=d\text{（等式一）}$

2. 利用双曲线的定义： 根据圆锥曲线的统一定义（第二定义），双曲线上的点到焦点的距离与其到同侧准线的距离之比等于其离心率 $e=\frac{c}{a}$。 因为 $l$ 是对应于左焦点 $F_1$ 的左准线， 故： $\frac{|M{F}_1|}{d}=e⟹|M{F}_1|=e\cdot d\text{（等式二）}$

3. 利用双曲线第一定义联立： 由于抛物线开口向右且准线位于左侧，其与双曲线的交点 $M$ 必然分布在双曲线的右支上。 根据双曲线第一定义，右支上的点到左焦点的距离减去到右焦点的距离等于实轴长 $2a$： $|M{F}_1|-|M{F}_2|=2a$ 将等式一、等式二代入该定义式中： $ed-d=2a⟹d(e-1)=2a⟹d=\frac{2a}{e-1}\text{（等式三）}$

4. 对目标化简求值： 已知双曲线的焦距为 $|F_1{F}_2|=2c$， 且根据离心率关系有 $c=ae$。 将所有量代入要求解的目标分式中： $\text{原式}=\frac{|F_1{F}_2|}{|M{F}_1|}-\frac{|M{F}_1|}{|M{F}_2|}=\frac{2c}{ed}-\frac{ed}{d}=\frac{2c}{ed}-e$ 将等式三中的 $d=\frac{2a}{e-1}$ 整体代入分母中： $\text{原式}=\frac{2c}{e\cdot \frac{2a}{e-1}}-e=\frac{2c(e-1)}{2ae}-e$ 因为 $ae=c$， 分式中的 $2c$ 与分母中的 $2ae$ 恰好完全约分抵消： $\text{原式}=\frac{2c(e-1)}{2c}-e=(e-1)-e=-1$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥曲线统一定义的几何投影转换、双曲线第一与第二定义联合消元。
2. 核心方法：准线距离 $d$ 媒介代换法。
3. 避坑指南：

• 属于极其高明的几何技巧题。切忌将双曲线和抛物线方程强行联立去解交点 $M$ 的坐标， 那样会产生无法化简的高阶无理式。
• 看到“点到焦点的距离比”， 必须第一时间形成无条件转换为“点到准线距离 $d$” 的直觉条件反射，通过 $d$ 作为代数桥梁， 所有复杂的曲线几何量都能在分子分母中神奇约分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线的第二定义（准线特质）、抛物线的定义是湖北卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是双曲线的第二定义（准线特质）、抛物线的定义的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用定义代数转换法、焦半径公式转化法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.03 抛物线专题全总结
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-06 单-抛物线的标准方程与焦点坐标
• 2013-天津卷理-05 单-双曲线性质
• 2013-山东卷理-11 单-抛物线性质