2007-湖北卷理-18 解-直线平面所成角向量求法

本题导读

本题考查空间位置关系的证明与线面角的求解。第一问通过等腰直角三角形中线的性质证明线线垂直，进而结合线面垂直判定定理推出面面垂直；第二问通过建立以 $C$ 为原点的空间直角坐标系，利用法向量和方向向量的夹角建立关于变量 $\theta$ 的三角函数关系式，从而锁定线面角的取值范围。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(理)） 如图, 在三棱锥 $V-ABC$ 中, $VC\perp$ 底面 $ABC$, $AC\perp BC$, $D$ 是 $AB$ 的中点, 且 $AC=BC=a$, $\angle VDC=\theta$ $\left(0<\theta <\frac{\pi }{2}\right)$.

(1) 求证: 平面 $VAB\perp$ 平面 $VCD$；

(2) 当角 $\theta$ 变化时, 求直线 $BC$ 与平面 $VAB$ 所成的角的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：证明面面垂直：

• 欲证平面 $VAB\perp$ 平面 $VCD$，只需证平面 $VAB$ 内有一条直线垂直于平面 $VCD$。
• 考虑底面 $△ABC$ 为等腰直角三角形， $AC=BC$， $D$ 是 $AB$ 的中点 $⟹CD\perp AB$。
• 又 $VC\perp$ 底面 $ABC⟹VC\perp AB$。
• 结合 $CD\cap VC=C$，推出 $AB\perp$ 平面 $VCD$。从而面面垂直得证。

2. 第二问：求线面角取值范围：

• 建立空间直角坐标系。以 $C$ 为原点， $CA,CB,VC$ 分别为 $x,y,z$ 轴。

• 由 $AC=BC=a$，可得 $D\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},0\right)$，故 $CD=\frac{\sqrt{2}}{2}a$。

• 在 Rt$△VCD$ 中， $\angle VDC=\theta ⟹VC=CD\cdot \tan \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan \theta$。

• 写出各点坐标，求出平面 $VAB$ 的法向量 $\mathbf{n}$。

• 计算直线 $BC$ 的方向向量 $\overrightarrow{CB}$ 与法向量 $\mathbf{n}$ 夹角余弦的绝对值，其值等于线面角正弦值 $\sin \alpha$。分析该三角函数随着 $\theta$ 变化的值域范围。

✅【答案】

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（1）平面𝑉𝐴𝐵⟂平面𝑉𝐶𝐷.（2）直线𝐵𝐶与平面𝑉𝐴𝐵所成的角的取值范围为(0,π4).

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）证明： 因为 $AC=BC$， 且 $D$ 是 $AB$ 的中点， 所以 $△ABC$ 为等腰三角形， 顶角平分线与中线合一： $CD\perp AB$

又因为 $VC\perp$ 底面 $ABC$， 且 $AB\subset$ 底面 $ABC$， 根据线面垂直的性质： $VC\perp AB$

在平面 $VCD$ 内部， 直线 $CD$ 与 $VC$ 为相交直线（ $CD\cap VC=C$）， 根据线面垂直的判定定理， 可得直线 $AB$ 严格垂直于整个平面 $VCD$： $AB\perp \text{平面 }VCD$ 由于直线 $AB\subset$ 平面 $VAB$， 依据面面垂直判定定理： $\text{平面 }VAB\perp \text{平面 }VCD$

（2）因为 $AC\perp BC$， 且 $VC\perp$ 底面 $ABC$， 相互之间具备天然的三轴直交特征。 以 $C$ 为坐标原点， 射线 $CA,CB,CV$ 的方向分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的正方向， 建立空间直角坐标系 $C-xyz$。 已知 $AC=BC=a$， 则底面各点坐标为： $C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0)$ 因为 $D$ 是 $AB$ 的中点， 由中点坐标公式得： $D\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},0\right)$ 计算线段 $CD$ 的长度为： $|CD|=\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+0^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$

在直角 $△VCD$ 中， $\angle VCD=90^{\circ },\angle VDC=\theta$， 可求出侧棱 $VC$ 的高度： $|VC|=|CD|\cdot \tan \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan \theta$ 由此写出顶点 $V$ 的空间坐标： $V\left(0,0,\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan \theta \right)$

下面求解平面 $VAB$ 的一个法向量 $\mathbf{n}=(x,y,z)$： 写出平面内的两个边向量坐标： $\overrightarrow{AB}=(-a,a,0),\overrightarrow{AV}=\left(-a,0,\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan \theta \right)$ 根据法向量垂直于面内任意向量建立方程组： $\{\begin{array}{l}\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{AB}=0⟹-ax+ay=0⟹x=y\\ \mathbf{n}\cdot \overrightarrow{AV}=0⟹-ax+\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan \theta \cdot z=0\end{array}$ 令 $x=y=\tan \theta$， 代入第二式可求得 $z=\sqrt{2}$。 由此得到平面 $VAB$ 的一个法向量： $\mathbf{n}=(\tan \theta ,\tan \theta ,\sqrt{2})$

易得直线 $BC$ 的方向向量为： $\overrightarrow{CB}=(0,a,0)$

设直线 $BC$ 与平面 $VAB$ 所成的角为 $\alpha$ ($\alpha \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$)， 根据线面角的向量转换公式（等于方向向量与法向量夹角的正弦值）： $\sin \alpha =\frac{|\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{CB}|}{|\mathbf{n}|\cdot |\overrightarrow{CB}|}=\frac{|\tan \theta \times 0+\tan \theta \times a+\sqrt{2}\times 0|}{\sqrt{{\tan }^2\theta +{\tan }^2\theta +2}\cdot a}=\frac{a\tan \theta }{a\sqrt{2{\tan }^2\theta +2}}=\frac{\tan \theta }{\sqrt{2({\tan }^2\theta +1)}}$ 由于 ${\tan }^2\theta +1={\sec }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$， 进一步恒等变形简化分式： $\sin \alpha =\frac{\frac{\sin \theta }{\cos \theta }}{\sqrt{\frac{2}{{\cos }^2\theta }}}=\frac{\sin \theta }{\sqrt{2}}$

已知 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$， 由正弦函数的单调性， 易知： $0<\sin \theta <1⟹0<\frac{\sin \theta }{\sqrt{2}}<\frac{\sqrt{2}}{2}$ 即线面角的正弦值范围为： $\sin \alpha \in \left(0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

因为线面角 $\alpha \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$， 且正弦函数在此区间内严格单调递增， 故直接进行区间映射， 得到 $\alpha$ 的取值范围为： $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$

答：直线 $BC$ 与平面 $VAB$ 所成的角的取值范围是 $\left(0,\frac{\pi }{4}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直判定定理的几何推演、空间三轴直交系建系规范、利用法向量求解直线与平面的复合夹角范围。
2. 核心方法：空间直角坐标系法、三角函数有界性控制法。
3. 避坑指南：

• 第二问中化简 $\sin \alpha =\frac{\tan \theta }{\sqrt{2{\tan }^2\theta +2}}$ 是代数上的一个难点。利用切化弦恒等式 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ 并同乘 $\cos \theta$， 可以极速将其清洗为最精简的 $\frac{\sin \theta }{\sqrt{2}}$ 结构， 从而能一眼看破其值域边界。
• 最终得出的区间是关于角度本身的开区间 $\left(0,\frac{\pi }{4}\right)$， 严禁停留在正弦值阶段， 填空大题必须写到自变量的最终弧度范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查平面与平面垂直的判定、空间直角坐标系的建立与应用，是湖北卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（传统几何综合证明法、空间向量坐标运算法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：平面与平面垂直的判定、空间直角坐标系的建立与应用相互关联，解答中综合运用了传统几何综合证明法、空间向量坐标运算法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.01空间向量及其运算
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 2013-辽宁卷理-18 解-直线与平面垂直判定
• 2014-湖北卷理-19 解-线面平行