2007-湖南卷文-08 单-分段函数与对数交点

本题导读

本题考查分段函数，以及函数图象交点。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(文)） 函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}4x-4,& x⩽1,\\ x^2-4x+3,& x>1,\end{array}$ 的图象和函数 $g(x)={\log }_{2}x$ 的图象的交点个数是 ()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

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1. 第一段 $x⩽1$：令 $h(x)=4x-4-{\log }_{2}x$（$x>0$），$h(1)=0$ 得交点 $(1,0)$；$x\to 0^{+}$ 时 $h\to +\infty$，$h\left(\frac{1}{4\ln 2}\right)<0$ 且该区间单调减，故 $(0,1)$ 内另有 1 根——第一段共 2 个。
2. 第二段 $x>1$：$x\in (1,3]$ 上 $x^2-4x+3⩽0$ 而 ${\log }_{2}x>0$，无交点；$x>3$ 时令 $h_2=x^2-4x+3-{\log }_{2}x$，$h_2(3)<0$、$h_2(4)=1>0$，$x>3$ 后 $h_2^{\prime }>0$ 单调增——$(3,4)$ 恰 1 根。第二段 1 个。
3. 合计 3 个，选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一段 $x\in (0,1]$：令 $h(x)=4x-4-{\log }_{2}x$，则 $h(1)=0$，得交点 $(1,0)$． $h^{\prime }(x)=4-\frac{1}{x\ln 2}$，当 $0<x<\frac{1}{4\ln 2}\approx 0.36$ 时 $h^{\prime }<0$，$h$ 单调递减；$h\left(\frac{1}{4\ln 2}\right)=-3+{\log }_2(\ln 2)+{\log }_2\ln 2<0$，而 $x\to 0^{+}$ 时 ${\log }_{2}x\to -\infty$，$h\to +\infty$，故 $h$ 在 $\left(0,\frac{1}{4\ln 2}\right)$ 内恰有一根（该区间单调，零点存在定理）．故第一段共 2 个交点． 第二段 $x>1$：当 $1<x⩽3$ 时，$x^2-4x+3⩽0$（顶点 $x=2$ 处取 $-1$），而 ${\log }_{2}x>0$，不可能相等，无交点；当 $x>3$ 时令 $h_2(x)=x^2-4x+3-{\log }_{2}x$，$h_2(3)=-{\log }_{2}3<0$，$h_2(4)=1>0$，且 $x>3$ 时 $h_2^{\prime }(x)=2x-4-\frac{1}{x\ln 2}>6-4-\frac{1}{3\ln 2}>0$，$h_2$ 单调递增，故 $(3,4)$ 内恰有 1 根．第二段共 1 个交点． 综上，两图象交点个数为 $2+1=3$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数与对数交点

核心方法：分段讨论：$h=4x-4-{\log }_{2}x$ 在 $(0,1)$ 内一根加端点 $(1,0)$；$x>3$ 后 $h_2$ 单调增恰一根

避坑指南：$(0,1)$ 内易漏一根：$x\to 0^{+}$ 时 ${\log }_{2}x\to -\infty$ 追过直线；$x\in (1,3]$ 上抛物线段非正、对数为正，恒无交点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数与对数图象交点，函数图象数形结合题

结论推广：$x\to 0^{+}$ 时 ${\log }_{2}x\to -\infty$ 速度远快于线性函数，必追过直线

方法推广：交点计数题分区间构造差函数，用端点极限 + 单调性锁定根数

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练(Links)

• 2015-湖南卷文-14 填-零点参数
• 2013-湖南卷理-05 单-函数图象的交点
• 2014-湖南卷文-21 解-导数零点
• 2015-湖南卷理-15 填-分段函数