2015-湖南卷理-15 填-分段函数

本题导读

本题考查分段函数的零点问题。通过将 $g(x)=0$ 转化为直线 $y=b$ 与分段函数 $f(x)$ 图象的交点问题，利用数形结合观察 $a$ 的取值对图象重叠或缺失的影响。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(理)） 已知 $f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^3,x\le a\\ x^2,x>a\end{array}$，若存在实数 $b$，使函数 $g(x)=f(x)-b$ 有两个零点，则 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 等价转化：函数 $g(x)=f(x)-b$ 有两个零点，等价于方程 $f(x)=b$ 有两个不同的实根，即水平直线 $y=b$ 与分段函数 $y=f(x)$ 的图象有两个公共点。
2. 分析子函数特征：
   • 第一段 $y=x^3$ 是单调递增函数。
   • 第二段 $y=x^2$ 是以 $y$ 轴为对称轴的抛物线，在 $x=0$ 处取得极小值。
3. 数形结合：分段函数在 $x=a$ 处“断开”或“拼接”。要使存在一条水平线交图象于两点，需满足：
   • 情况一：两段函数的值域在 $y=b$ 处有重叠（每段贡献 1 个交点）。
   • 情况二：某一段函数自身在定义域内不单调（如 $x^2$ 段贡献 2 个交点）。

✅【答案】

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$(-\infty ,0)\cup (1,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析函数图象基础 函数 $y=x^3$ 与 $y=x^2$ 的交点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。 当 $x<0$ 时，$x^3<0<x^2$； 当 $0<x<1$ 时，$x^3<x^2$； 当 $x>1$ 时，$x^3>x^2$。

第二步：分类讨论 $a$ 的范围

1. 当 $a<0$ 时：
   • $x\le a<0$ 时，$f(x)=x^3$（单调增，值域为 $(-\infty ,a^3]$）；
   • $x>a$ 时，$f(x)=x^2$。由于 $a<0$，该段包含顶点 $x=0$，其值域为 $[0,+\infty )$。
   • 此时，取 $b>0$ 且较小时，直线 $y=b$ 与 $y=x^2$ 段在 $x=0$ 两侧必有两个交点。
   • 故 $a<0$ 符合题意。
2. 当 $0\le a\le 1$ 时：
   • $x\le a$ 时，$f(x)=x^3\le a^3$；
   • $x>a$ 时，$f(x)=x^2>a^2$。
   • 由于在此范围内 $x^3\le a^3\le a^2<x^2$，两个分支的值域不重叠，且每段在各自区间内均单调（$x^2$ 在 $x>a\ge 0$ 时单调增）。
   • 此时对任意 $b$，直线 $y=b$ 与图象至多有一个交点。不符。
3. 当 $a>1$ 时：
   • $x\le a$ 时，$f(x)=x^3$，值域为 $(-\infty ,a^3]$；
   • $x>a$ 时，$f(x)=x^2$，值域为 $(a^2,+\infty )$。
   • 因为 $a>1$，所以 $a^3>a^2$。这意味着在 $y\in (a^2,a^3]$ 这一区间内，直线 $y=b$ 会同时与两段图象各产生一个交点，总计两个。
   • 故 $a>1$ 符合题意。

第三步：总结结论 综上所述，$a$ 的取值范围是 $a<0$ 或 $a>1$。

答案：$(-\infty ,0)\cup (1,+\infty )$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分段函数的连续性与单调性分析；方程根的个数与图象交点的转化。
• 避坑指南：容易忽略 $a<0$ 的情况。注意当 $a<0$ 时，抛物线段 $x^2$ 在 $x>a$ 的定义域内并不是单调的，它可以独立贡献两个零点。
• 处理此类存在性问题（“存在 $b$”），本质是看分段函数图象在垂直方向上是否存在“重叠区域”或者某一段是否存在“回折”。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若题目要求“恰有三个零点”，则需 $a>1$ 且 $b$ 选在特定重叠区间内，同时考虑 $x^2$ 段是否能提供更多交点。
• 变式思考: 若将 $x^3$ 改为 $x+1$，解题逻辑依然是比较两段函数在 $x=a$ 处的值的大小关系。
• 相关知识点: 二次函数性质、幂函数图象、零点存在性定理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

（1）𝑎+𝑏⩾2.（2）𝑎2+𝑎<2与𝑏2+𝑏<2不可能同时成立.

类题演练(Links)

• 2014-湖南卷理-22 解-导数单调性
• 2014-湖南卷理-06 单-程序框图
• 2014-湖南卷理-10 单-函数对称性