2012-湖南卷文-21 解-椭圆方程与双切线

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与离心率。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(文)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，已知中心在原点、离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆 $E$ 的一个焦点为圆 $C:x^2+y^2-4x+2=0$ 的圆心.

(1)求椭圆 $E$ 的方程；

(2)设 $P$ 是椭圆 $E$ 上一点，过 $P$ 作两条斜率之积为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $l_1$，$l_2$，当直线 $l_1$，$l_2$ 都与圆 $C$ 相切时，求 $P$ 的坐标.

🔍【思路分析】

破题导航

圆心 $(2,0)$ 即焦点，$c=2$、$e=\frac{1}{2}$ 得 $a=4$；切线斜率 $k$ 满足 $k_1{k}_2=\frac{y_0^2-2}{(2-x_0{)}^2-2}=\frac{1}{2}$，与椭圆方程联立解得 $P(-2,\pm 3)$ 或 $\left(\frac{18}{5},\pm \frac{\sqrt{57}}{5}\right)$。

✅【答案】

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(1)$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$；(2)$P$ 的坐标为 $(-2,3)$，$(-2,-3)$，$\left(\frac{18}{5},\frac{\sqrt{57}}{5}\right)$，$\left(\frac{18}{5},-\frac{\sqrt{57}}{5}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）圆 $C:(x-2{)}^2+y^2=2$，圆心 $(2,0)$，半径 $\sqrt{2}$。由题意椭圆 $E$ 的焦点在 $x$ 轴上且 $c=2$，又 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得 $a=4$，$b^2=a^2-c^2=12$。

所以椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$。

（2）设 $P(x_0,y_0)$，过 $P$ 的直线为 $y-y_0=k(x-x_0)$。直线与圆 $C$ 相切等价于圆心 $(2,0)$ 到直线的距离等于半径 $\sqrt{2}$：

$\frac{\left|k(2-x_0)+y_0\right|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{2}$，平方整理得

$\left[(2-x_0{)}^2-2\right]k^2+2(2-x_0)y_{0}k+\left(y_0^2-2\right)=0$.

两条切线的斜率 $k_1,k_2$ 是该方程的两根，故 $k_1{k}_2=\frac{y_0^2-2}{(2-x_0{)}^2-2}$。由 $k_1{k}_2=\frac{1}{2}$ 得

$2\left(y_0^2-2\right)=(2-x_0{)}^2-2$，即 $2y_0^2=x_0^2-4x_0+6$.　①

又 $P$ 在椭圆上：$3x_0^2+4y_0^2=48$，即 $2y_0^2=24-\frac{3}{2}{x}_0^2$.　②

①②联立：$24-\frac{3}{2}{x}_0^2=x_0^2-4x_0+6$，即 $5x_0^2-8x_0-36=0$，解得 $x_0=-2$ 或 $x_0=\frac{18}{5}$。

当 $x_0=-2$ 时，$2y_0^2=18$，$y_0=\pm 3$；当 $x_0=\frac{18}{5}$ 时，$2y_0^2=\frac{114}{25}$，$y_0=\pm \frac{\sqrt{57}}{5}$（此时判别式 $14200>0$，两条切线确实存在）。

所以 $P$ 的坐标为 $(-2,3)$，$(-2,-3)$，$\left(\frac{18}{5},\frac{\sqrt{57}}{5}\right)$，$\left(\frac{18}{5},-\frac{\sqrt{57}}{5}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆中 $a,b,c,e$ 的基本量计算；点线距离与相切条件；韦达定理表达斜率之积

核心方法：设 $P(x_0,y_0)$ 与斜率 $k$，把”两条切线”翻译成关于 $k$ 的一元二次方程，用两根之积建立 $x_0,y_0$ 的方程，再与椭圆方程联立

避坑指南：相切条件的分子是 $\left|k(2-x_0)+y_0\right|$，符号带错整个方程全错；解出 $P$ 后必须回头检查判别式大于 $0$（两条切线存在），本题四个点都满足；焦点在 $x$ 轴上是由圆心 $(2,0)$ 的位置决定的，别设成焦点在 $y$ 轴。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆与圆的切线综合题，与 2013 年新课标Ⅰ文第 21 题、2013 年江西卷文第 14 题同族。

结论推广：过 $P(x_0,y_0)$ 的直线与圆 $(x-m{)}^2+y^2=r^2$ 相切时，两切线斜率之积为 $\frac{y_0^2-r^2}{(m-x_0{)}^2-r^2}$（二次方程两根之积）。

方法推广：“斜率之积为定值”的条件优先翻译成韦达定理（两根之积），避免分别解出 $k_1,k_2$；最后用判别式筛点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-21 解-椭圆与圆的公切线
• 2013-山东卷文-22 解-椭圆面积与向量比
• 2013-江西卷文-14 填-圆的方程相切