2007-湖南卷文-17 解-独立事件与二项分布

本题导读

本题考查相互独立事件。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(文)） 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有 $60$，参加过计算机培训的有 $75$，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． （1）任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率； （2）任选 3 名下岗人员，求这 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率．

🔍【思路分析】

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1. 记”参加财会”为 $A$、“参加计算机”为 $B$，$P(A)=0.6$、$P(B)=0.75$，$A$、$B$ 独立。
2. (1) 对立事件”都没参加”：$$\begin{gathered} P( \\ barA \\ barB)=0.4 \\ times0.25=0.1 \end{gathered}$$，故 $P=0.9$。
3. (2) 每人参加过培训概率 $p=0.9$，3 人独立 ⟹ $$\begin{gathered} X \\ simB(3,0.9) \end{gathered}$$。
4. $$\begin{gathered} P(X \\ geqslant2)= \\ mathrm{C}_3^2 \\ cdot0.9^2 \\ cdot0.1+0.9^3=0.243+0.729=0.972 \end{gathered}$$。

✅【答案】

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（1）$0.9$；（2）$0.972$

✍【详细解析】

Abstract

记”该人参加过财会培训”为事件 $A$，“参加过计算机培训”为事件 $B$，则 $P(A)=0.6$，$P(B)=0.75$，$A$ 与 $B$ 相互独立． （1）该人没参加过任何培训的概率为 $$\begin{gathered} P( \\ barA \\ cdot \\ barB)=P( \\ barA)P( \\ barB)=0.4 \\ times0.25=0.1 \end{gathered}$$， 故参加过培训的概率为 $1-0.1=0.9$． （2）每个人参加过培训的概率均为 $0.9$，3 人的选择相互独立，设 3 人中参加过培训的人数为 $X$，则 $$\begin{gathered} X \\ simB(3,0.9) \end{gathered}$$． 至少有 2 人参加过培训的概率 $$\begin{gathered} P(X \\ geqslant2)= \\ mathrm{C}_3^2 \\ times0.9^2 \\ times0.1+0.9^3=3 \\ times0.081+0.729=0.243+0.729=0.972 \end{gathered}$$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立事件与二项分布

核心方法：对立事件 $1-0.4\times 0.25=0.9$；$X\sim B(3,0.9)$，$P(X⩾2)={\mathrm{C}}_3^2\cdot 0.9^2\cdot 0.1+0.9^3$

避坑指南：“参加过培训”是 $A\cup B$ 不是 $AB$；至少 2 人 = 恰 2 人 + 3 人，别漏乘组合数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：独立事件与二项分布，概率解答题

结论推广：$P(X⩾2)=P(X=2)+P(X=3)$

方法推广：概率大题先设事件再写分布；对立事件简化”至少”型计算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 23.04 二项分布与超几何分布

类题演练(Links)

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• 2009-湖南卷文-17 解-独立事件概率
• 2012-湖南卷文-17 解-统计表与概率估计
• 2010-湖南卷文-17 解-分层抽样与概率