2009-湖南卷文-17 解-独立事件概率

本题导读

考查独立事件。（1）$3!\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{6}$；（2）$1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{19}{27}$。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(文)） 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的 $\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{6}$.现在 $3$ 名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：

(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率；

(2)至少有 $1$ 人选择的项目属于民生工程的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1.（1）三类项目被选的概率依次为 $\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{6}$；三人类别互不相同需三个类别各出现一次，排列 $3!$ 种。 2. $P_1=3!\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{6}$。 3.（2）每名工人不选民生工程的概率为 $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，三人都不是民生工程的概率 ${\left(\frac{2}{3}\right)}^3$。 4. $P_2=1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{19}{27}$。

✅【答案】

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(1) $\frac{1}{6}$；(2)$\frac{19}{27}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）每名工人选到基础设施、民生、产业建设三类工程的概率依次为 $\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{6}$。 三人所属类别互不相同，即三个类别各被选一次，类别分配共有 $3!$ 种， 故所求概率为 $3!\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{6}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$。 （2）先求没有人选择民生工程的概率。 每名工人选择非民生工程的概率为 $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，三名工人独立选择， 故至少有 $1$ 人选择民生工程的概率为 $1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^3=1-\frac{8}{27}=\frac{19}{27}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相互独立事件与对立事件

核心方法：类别互不相同用全排列乘概率；“至少”用对立事件

避坑指南：$3!\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{6}$；$1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{19}{27}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“类别互不相同”= 三个类别各出现一次，排列数 $3!$ 别丢。

结论推广：“至少一人”的对立是”所有人都不是”，底数是 $1-\frac{1}{3}$。

方法推广：概率 $\frac{1}{6}$ 与 $\frac{19}{27}$ 分别小于、大于 $\frac{1}{2}$，量级合理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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