2007-湖南卷理-01 单-复数四则运算乘方

本题导读

本题考查复数的代数四则运算与乘方运算。可以通过先对分子、分母分别进行平方再做除法化简，或者先将分式内部进行分母实数化后再进行平方。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(理)） 复数 ${\left(\frac{2\text{i}}{1+\text{i}}\right)}^2$ 等于()

A. $4\text{i}$　　　　　　B. $-4\text{i}$　　　　　　C. $2\text{i}$　　　　　　D. $-2\text{i}$

🔍【思路分析】

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1. 方法一：分子分母分别乘方：

• 分子： $(2\text{i}{)}^2=4{\text{i}}^2=-4$；
• 分母： $(1+\text{i}{)}^2=1+2\text{i}+{\text{i}}^2=2\text{i}$。
• 结果相除： $\frac{-4}{2\text{i}}=-\frac{2}{\text{i}}=2\text{i}$。

2. 方法二：先括号内实数化：

• 分母实数化： $\frac{2\text{i}}{1+\text{i}}=\frac{2\text{i}(1-\text{i})}{(1+\text{i})(1-\text{i})}=\frac{2\text{i}+2}{2}=1+\text{i}$。

• 再进行平方： $(1+\text{i}{)}^2=2\text{i}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：将原复数幂的分子与分母分别进行平方运算： ${\left(\frac{2\text{i}}{1+\text{i}}\right)}^2=\frac{(2\text{i}{)}^2}{(1+\text{i}{)}^2}$

由 ${\text{i}}^2=-1$， 计算分子与分母的具体代数式： $(2\text{i}{)}^2=4{\text{i}}^2=-4$ $(1+\text{i}{)}^2=1+2\text{i}+{\text{i}}^2=1+2\text{i}-1=2\text{i}$

代回原分式中进行约分和除法运算： $\frac{-4}{2\text{i}}=\frac{-2}{\text{i}}=\frac{-2\cdot \text{i}}{\text{i}\cdot \text{i}}=\frac{-2\text{i}}{-1}=2\text{i}$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：虚数单位 $\text{i}$ 的性质 ${\text{i}}^2=-1$、完全平方公式 $(1+\text{i}{)}^2=2\text{i}$、复数的除法法则。
2. 核心方法：分式乘方分配法。
3. 避坑指南：

• 基础送分题，记住常用结论 $(1+\text{i}{)}^2=2\text{i}$ 以及 $(1-\text{i}{)}^2=-2\text{i}$ 可以极速提升运算速度并规避展开符号错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》中的课后基础练习题。

2. 结论推广: 对于任意正整数 $n$， ${\left(\frac{2\text{i}}{1+\text{i}}\right)}^{2n}=(2\text{i}{)}^n$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷理-01 单-复数运算