2007-湖南卷理-02 单-集合区间表示法

本题导读

本题考查分式不等式的求解。核心在于将分式不等式等价转化为一元二次不等式，并严格注意分母不能为零的限制条件， 从而准确确定区间的开闭状态。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(理)） 不等式 $\frac{x-2}{x+1}\le 0$ 的解集是()

A. $(-\infty ,-1)\cup (-1,2]$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $[-1,2]$

C. $(-\infty ,-1)\cup [2,+\infty )$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $(-1,2]$

🔍【思路分析】

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1. 转化为整式不等式：

• 分式不等式 $\frac{x-2}{x+1}\le 0$ 等价于整式乘积 $(x-2)(x+1)\le 0$ 且分母 $x+1\ne 0$。

2. 求解区间边界：

• 由 $(x-2)(x+1)\le 0$ 解得 $-1\le x\le 2$。

3. 扣紧分母非零条件修正区间：

• 因为 $x+1\ne 0⟹x\ne -1$， 故左边界 $-1$ 必须是开区间。

• 最终解集为 $(-1,2]$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：根据分式不等式的同号/异号除法与乘法等价性原理，原不等式 $\frac{x-2}{x+1}\le 0$ 可无损转化为一元二次不等式组： $\{\begin{array}{l}(x-2)(x+1)\le 0\\ x+1\ne 0\end{array}$

解一元二次不等式 $(x-2)(x+1)\le 0$，利用“大于取两边，小于取中间”的口诀， 得到： $-1\le x\le 2$

结合分母防线大前提 $x\ne -1$， 剔除左端点的等号， 使得 $-1$ 处变为开区间： $-1<x\le 2$ 写成标准集合区间符号形式为 $(-1,2]$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式不等式通解程序 $\frac{f(x)}{g(x)}\le 0⟺f(x)g(x)\le 0$ 且 $g(x)\ne 0$。
2. 核心方法：等价转化法。
3. 避坑指南：

• 本题极易由于粗心大意漏掉分母非零的红线而误选 B。必须要时刻警惕分母绝对不能为零， 任何时候分母对应的零点在区间内都必须以开区间形式展现。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分式不等式的解法、集合的区间表示法是湖南卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是分式不等式的解法、集合的区间表示法的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用等价转化为一元二次不等式、边界开闭判定法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷理-02 单-奇函数
• 2008-大纲卷I理-09 单-不等式
• 2008-天津卷理-08 单-不等式