本题导读
本题考查分式不等式的解法，以及不等式的同解变形。
📌【题干】
Question
（2012年重庆卷(理)） 不等式 的解集为()
A. B.
C. D.
🔍【思路分析】
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- 同解变形转化：对于分式不等式 ，其符号规律与整式乘积 相同（异号或为0）。但需要特别注意分母不能为 0 的隐含代数限制，即 。
- 列出等价不等式组：将原式等价转化为整式不等式组 。
- 求解一元二次不等式：解出对应二次方程的两个根 和 。利用“大于取两边，小于取中间”的口诀写出代数范围。
- 排除分母零点确定区间：将 处的闭区间边界点改为开区间，确定最终解集。
✅【答案】
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A
✍【详细解析】
Abstract
根据分式不等式的同解变形法则，不等式 等价于以下整式不等式组：
首先，求解一元二次不等式 ： 令对应的一元二次方程为 ，解得两个实数根为：
因为二次项系数展开后为 ，不等号方向为 “”，根据一元二次不等式的解集规律（小于取中间），该不等式的解集范围为：
其次，考虑分母不为零的限制条件：
综合上述两个条件，对解集的左边界进行开区间修正，得到最终的代数取值范围为：
将该范围用标准区间集合表示为：
故选 A
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：分式不等式的同解变形、一元二次不等式的解法、分母零点的开闭区间判别。
- 核心方法：等价整式转化法。处理分式不等式 （或 ）时，将其转化为 （或 ）并单独挖掉 的特征点，是避免漏掉分母限制的标准化通法。
- 避坑指南：
- 忽视分母不为零导致错选：部分考生直接将分式不等式等价为 ，从而在左边界错用了闭区间符号，误选 B。切记分母对应的根在任何情况下都只能取开区间。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 本题源于人教A版高中数学必修第一册第二章《一元二次函数、方程和不等式》中关于分式不等式解法的常规基础习题。作为本卷的第 2 题，属于考查不等式基本功的送分题。
- 结论推广:
- 分式不等式解集边界通用模型：对于任意形如 的标准分式不等式。
- 其对应的解集形式恒表现为“一开一闭”的半开半闭区间：
- 本题中 ，直接套用此模型，可瞬间判定左边界为开区间，右边界为闭区间，即 。熟记此边界规律可实现快速得出。
🔗【关联脉络】
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