2007-湖南卷理-03 单-充分必要条件判定

本题导读

本题考查集合运算（交、并集）与简易逻辑中充要条件的判定。核心在于分析“并集非空”与“交集非空”这两个集合命题之间的双向包含逻辑链条。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(理)） 设 $M,N$ 是两个集合，则“$M\cup N\ne \varnothing$”是“$M\cap N\ne \varnothing$”的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分又不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判定充分性（ $M\cup N\ne \varnothing ⟹M\cap N\ne \varnothing$）：

• 并集非空意味着 $M$ 和 $N$ 至少有一个不是空集。
• 构造反例：设 $M=\{1\},N=\{2\}$。此时 $M\cup N=\{1,2\}\ne \varnothing$。
• 但它们的交集 $M\cap N=\varnothing$。这说明充分性不成立。

2. 判定必要性（ $M\cap N\ne \varnothing ⟹M\cup N\ne \varnothing$）：

• 交集非空意味着存在某个元素 $x$， 既属于 $M$ 又属于 $N$。
• 如果 $x\in M\cap N⟹x\in M$ 且 $x\in N⟹x\in M\cup N$。
• 既然并集内有元素， 则并集必然不是空集。这说明必要性成立。

3. 综合判定：必要不充分条件。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：我们对这两个集合命题进行双向逻辑推演：

• 第一步：检验充分性（由前推后） 若“$M\cup N\ne \varnothing$”， 表示集合 $M$ 与集合 $N$ 至少有一个集合内部拥有元素。 我们构造一组不相交的非空特殊集合：令 $M=\{1\},N=\{2\}$。 此时， 它们的并集 $M\cup N=\{1,2\}\ne \varnothing$， 满足前置条件； 然而， 它们的交集 $M\cap N=\varnothing$， 导致后置命题“$M\cap N\ne \varnothing$”不成立。 因此， 充分性不成立。

• 第二步：检验必要性（由后推前） 若“$M\cap N\ne \varnothing$”， 表示存在某一个公共元素 $x$ 满足 $x\in M$ 且 $x\in N$。 由于该元素既在 $M$ 中又在 $N$ 中， 它必然也属于它们的并集 $M\cup N$。 既然并集中至少抓到了元素 $x$， 说明并集绝对不可能是空集， 即“$M\cup N\ne \varnothing$”必然成立。 因此， 必要性成立。

综上所述，“$M\cup N\ne \varnothing$”是“$M\cap N\ne \varnothing$”的必要不充分条件。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：交并集概念的蕴含关系（ $M\cap N\subseteq M\subseteq M\cup N$）。
2. 核心方法：特值反例法、概念内涵推导法。
3. 避坑指南：

• 逻辑推导题切忌凭直觉拍脑袋。牢记交集包含于并集（即 $M\cap N\subseteq M\cup N$）这一基本公理。由子集非空一定能推出母集非空， 从而一眼锁定必要性。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合的并集与交集定义、充分必要条件的判定是湖南卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是集合的并集与交集定义、充分必要条件的判定的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用逻辑包含关系判定法、韦恩图（Venn diagram）反例构造法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-13 单-线面垂直充要条件
• 2008-北京卷理-03 单-函数
• 2008-浙江卷文-01 单-集合并集