2007-湖南卷理-07 单-极限代数化简求法

本题导读

本题是一道考查微积分初步中极限与函数连续性基础概念的选择辨析题。题目给出了四个涉及连续定义、不连续点排查以及极限法则的命题， 要求通过基础定义的严格审查， 锁定不正确的命题。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(理)） 下列四个命题中，不正确的是()

A. 若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续，则 ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)$

B. 函数 $f(x)=\frac{x+2}{x^2-4}$ 的不连续点是 $x=2$ 和 $x=-2$

C. 若函数 $f(x),g(x)$ 满足 ${\lim }_{x\to \infty }[f(x)-g(x)]=0$，则 ${\lim }_{x\to \infty }f(x)={\lim }_{x\to \infty }g(x)$

D. ${\lim }_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 A 选项：连续的基本定义为 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。故 A 命题逻辑完全正确。
2. 分析 B 选项：不连续点即为无定义点或极限不存在的点。对于分式函数，分母为 0 的点必然无定义。令 $x^2-4=0⟹x=\pm 2$。虽然 $x=-2$ 时分子也为 0（属于可去间断点），但由于在原函数中分母无法代入， 它依然是不连续点。故 B 命题正确。
3. 分析 C 选项：两个无限延伸函数的差的极限为 0， 它们各自的极限一定存在且相等吗？

• 构造反例：令 $f(x)=x+\frac{1}{x},g(x)=x$。
• 当 $x\to \infty$ 时， $\lim [f(x)-g(x)]=\lim \frac{1}{x}=0$， 满足前置。
• 然而， ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=\infty$ 且 ${\lim }_{x\to \infty }g(x)=\infty$。由于两个极限均处于发散状态， 解析几何上“ $\infty =\infty$”的写法在高等数学中是不允许直接划等号建立等式的（极限不存在）。故 C 命题错误。

4. 分析 D 选项：计算 0/0 型极限。 ${\lim }_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}={\lim }_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}={\lim }_{x\to 1}\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$。 运算完全正确。故 D 命题正确。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：我们依据微积分极限与连续的基础公理对四个选项逐一展开严密审查：

• 对于 A 选项：根据数学分析中函数连续性的核心定义，函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处连续的充要条件是其在该点处的极限存在且等于函数值，即 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。而极限存在的充要条件是左右极限同时存在且严格相等。故 A 选项表述完全正确；
• 对于 B 选项：函数的不连续点（间断点）包括函数没有定义的点。对于初等分式函数 $f(x)=\frac{x+2}{x^2-4}$， 其分母绝对不能为零。令 $x^2-4=0⟹x=2$ 或 $x=-2$。在这两个点处， 原函数均无法进行算术代入， 没有任何物理定义， 故它们全部是函数的不连续点（间断点）。故 B 选项表述完全正确；
• 对于 C 选项：只有当 ${\lim }_{x\to \infty }f(x)$ 和 ${\lim }_{x\to \infty }g(x)$ 这两个极限均独立存在（即收敛为有限常数）时，根据极限的减法四则运算法则， 才能将 $\lim [f(x)-g(x)]=0$ 拆开移项写成两极限相等。若两函数在趋于无穷大时处于发散状态（例如令 $f(x)=x+\frac{1}{x},g(x)=x$， 满足差值的极限为 0）， 它们各自的极限都是无穷大（不存在）。由于极限不收敛， 在代数上无法直接声明“两个不存在的极限严格相等”。故 C 选项属于混淆极限前提条件的错误命题；
• 对于 D 选项：对于 $\frac{0}{0}$ 型极限， 对分母利用平方差公式进行因式分解以消去零因子： ${\lim }_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}={\lim }_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$ 约去非零零因子 $\sqrt{x}-1$： ${\lim }_{x\to 1}\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{\sqrt{1}+1}=\frac{1}{2}$ 计算结果完全正确。故 D 选项表述正确。

综合可知，不正确的命题是 C。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极限减法四则运算法则的基本大前提（各分项极限必须独立收敛）、分式零因子消除法。
2. 核心方法：极限发散反例排除法。
3. 避坑指南：

• 本题最容易误选 B。很多同学误以为 $x=-2$ 时， 分子 $x+2=0$ 可以与分母的 $x+2$ 约分抹去， 从而认为 $x=-2$ 已经恢复了连续。必须要清醒认识到：约分操作是在求极限（ $x\to -2$ 但不等于 $-2$）时才能实施的代数手段。在原函数本身中， 只要原分母含有该因式， $x=-2$ 处就已经被判定为无定义点， 无法逃脱不连续点的命运。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数连续性的概念与充要条件、函数间断点（不连续点）的判定是湖南卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是函数连续性的概念与充要条件、函数间断点（不连续点）的判定的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用概念性质审查法、极限发散反例排除法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2025-新高考I卷-05 单-函数性质
• 2010-四川卷文-05 单-二次函数对称充要
• 2011-湖北卷文-10 单-互补新定义充要