2011-湖北卷文-10 单-互补新定义充要

本题导读

本题考查新定义，以及充要条件。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(文)） 若实数 $a$，$b$ 满足 $a⩾0$，$b⩾0$，且 $ab=0$，则称 $a$ 与 $b$ 互补. 记 $\phi (a,b)=\sqrt{a^2+b^2}-a-b$，那么 $\phi (a,b)=0$ 是 $a$ 与 $b$ 互补的 ()

A. 必要而不充分条件　　　　　　　　　B. 充分而不必要条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：把 $\phi (a,b)=0$ 等价变形为 $ab=0$（用 $a,b⩾0$ 保证平方可逆）
2. 步骤2：与定义比对

✅【答案】

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C充要条件

✍【详细解析】

Abstract

”$a$ 与 $b$ 互补”即 $a⩾0$，$b⩾0$ 且 $ab=0$。

$\phi (a,b)=0$ 即 $\sqrt{a^2+b^2}=a+b$。两边平方（两边均非负，平方可逆）：$a^2+b^2=a^2+2ab+b^2$，即 $ab=0$。

反之，$ab=0$ 时 $\sqrt{a^2+b^2}=a+b$ 恒成立（如 $b=0$，则 $\sqrt{a^2}=a$，因 $a⩾0$；$a=0$ 同理）。

又 $\sqrt{a^2+b^2}=a+b⩾0$ 本身保证 $a$，$b$ 的取值不违反非负语境；两命题在 $a⩾0$，$b⩾0$ 的前提下互相等价，故为充要条件，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义理解；含根号等式的可逆变形；充要条件判定

核心方法：根式等式两边平方前先确认两边非负，把”平方”变成等价变形

避坑指南：本题平方可逆的原因是 $a+b⩾0$（$a$，$b$ 非负）且 $\sqrt{a^2+b^2}⩾0$——若没有非负语境，平方会产生增根（如 $a+b<0$ 的情形）；“互补”里的 $ab=0$ 与"$\phi =0$"推出的是同一条数量关系，方向双向通。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义与充要条件题与 2011-福建卷文-03、2011-天津卷文-04、2011-山东卷文-12 同族。

结论推广：推广：$\sqrt{x^2+y^2}=x+y⟺xy⩾0$ 且 $\dots$，一般地根式等式平方后须回验符号；本题非负前提使 $\phi =0⟺ab=0$ 成为干净的双向链。

方法推广：新定义充要题：把两个命题各自化简到最简数量关系，再比对集合包含（本题两个化简结果相同）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2011-福建卷文-03 单-充分不必要条件
• 2011-天津卷文-04 单-充要条件判定
• 2011-山东卷文-12 单-调和分割新定义