2007-湖南卷理-08 单-球截面垂径定理

本题导读

本题考查正方体外接球与截面线段长度的计算。核心在于通过正方体的中心对称性确定球心到目标直线的垂直距离，进而利用垂径定理求出被球截得的线段长。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(理)） 棱长为 1 的正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的 8 个顶点都在球 $O$ 的表面上， $E$、 $F$ 分别是棱 $A{A}_1$、 $D{D}_1$ 的中点，则直线 $EF$ 被球 $O$ 截得的线段长为()

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　B. 1　　　　　　C. $1+\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　D. $\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 求球的半径 $R$：正方体的 8 个顶点都在球面上，球心 $O$ 即为正方体的中心，球的直径等于正方体的体对角线长 $\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$，故半径 $R=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

2. 求球心到直线 $EF$ 的距离 $d$：由于 $E,F$ 分别是平行侧棱 $A{A}_1,D{D}_1$ 的中点，直线 $EF$ 位于侧面 $A{A}_1{D}_{1}D$ 内，且为该正方形的中位线。球心 $O$ 到该侧面的距离为棱长的一半，即 $d=\frac{1}{2}$。

3. 垂径定理求解：截得线段长 $L=2\sqrt{R^2-d^2}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：因为正方体棱长为 1，且 8 个顶点均在球 $O$ 的表面上， 所以球 $O$ 是该正方的外接球，球心 $O$ 为正方体的中心。 正方体的体对角线长为： $l=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$ 从而求得外接球的半径 $R$ 为： $R=\frac{1}{2}l=\frac{\sqrt{3}}{2}$

因为 $E,F$ 分别是正方体平行侧棱 $A{A}_1$ 和 $D{D}_1$ 的中点， 所以直线 $EF$ 垂直平分侧棱，且平行于底面边长 $AD$，即直线 $EF$ 刚好横贯侧面 $A{A}_1{D}_{1}D$ 的中心。 由正方体的对称性可知，正方体中心（球心 $O$）到侧面 $A{A}_1{D}_{1}D$ 中位线 $EF$ 的垂直距离 $d$ 等于正方体棱长的一半： $d=\frac{1}{2}$

根据球的垂径定理， 直线 $EF$ 被球 $O$ 截得的线段长度 $L$ 满足勾股弦长公式： $L=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=2\sqrt{\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}=2\sqrt{\frac{2}{4}}=2\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正方体外接球半径公式 $2R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$、空间几何体的内部垂距投影、球体截面垂径弦长公式。
2. 核心方法：几何射影分析法。
3. 避坑指南：

• 基础空间几何题，切忌建立繁琐的三维坐标系去算点到直线的距离， 直接利用正方体中心到六个侧面的距离均为 $\frac{a}{2}$ 的几何常识可以极大提高解题效率。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方体与其外接球、空间点到直线的距离是湖南卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是正方体与其外接球、空间点到直线的距离的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用空间几何特征分析法、垂径定理勾股变换法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷理-04 单-球的体积公式
• 2013-新课标I卷理-06 单-球的体积与表面积
• 2008-大纲卷II文-03 单-点到直线距离