2007-福建卷文-12 单-对立事件计数

本题导读

本题考查计数原理，以及对立事件。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(文)） 某通讯公司推出一组手机号码，卡号的前七位数字固定，从”×××××××0000”到”×××××××9999”共 10000 个号码. 公司限定：凡卡号的后四位带有数字”4”或”7”的一律作为”优惠卡”，则这组号码中”优惠卡”的个数为 ()

A. 2000　　　　　B. 4096　　　　　C. 5904　　　　　D. 8320

🔍【思路分析】

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1. 正面分类（含 4 不含 7、含 7 不含 4、都含）繁琐。
2. 对立事件：后四位不含 4 也不含 7，每位有 8 种，共 $8^4$。
3. $10000-8^4$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设”优惠卡”事件的对立事件为后四位既不含 4 也不含 7． 后四位每一位可取 $0\sim 9$ 中除 4、7 外的 8 个数字，故共 $8^4=4096$ 个． 所以优惠卡个数 $=10000-4096=5904$，选 C． （易错点：直接算”含 4 或含 7”需三类容斥，容易漏算重叠；对立事件一步到位。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对立事件计数

核心方法：正难则反：不含 4 且不含 7 的号码 $8^4$ 个，总数减之

避坑指南：“至少”类计数优先想对立事件；$8^4$ 是 8 种数字的四位排列（可重复），别误用 $A_8^4$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对立事件 + 乘法计数的应用题，贴近生活情境

结论推广：推广：“至少含某字符”类计数一律 $N-N_{\text{不含}}$

方法推广：数字号码类计数题：先定总空间，再用对立事件或逐位乘法

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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