2007-辽宁卷文-12 单-排列组合容斥计数

本题导读

本题考查排列与组合，以及容斥原理。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(文)） 将数字 $1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$ 排成一列，记第 $i$ 个数为 $a_i$（$i=1,2,\cdots ,6$）．若 $a_1\ne 1$，$a_3\ne 3$，$a_5\ne 5$，$a_1<a_3<a_5$，则不同的排列方法种数为 ()

A. $18$　　　　　　　B. $30$　　　　　　　C. $36$　　　　　　　D. $48$

🔍【思路分析】

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1. 奇数位 $a_1<a_3<a_5$：选哪三个数放入第 1,3,5 位，排法就唯一确定，共 ${\mathrm{C}}_6^3=20$ 组。
2. 对三个禁位条件用容斥：$a_1=1$ 即选出的三数中最小者为 1；$a_3=3$ 即 3 为三数的中位数；$a_5=5$ 即 5 为最大数。
3. 剩下三个数在偶数位任意全排列 $3!$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步（定奇数位）：$a_1<a_3<a_5$，故奇数位上的排法由”选出哪三个数”唯一确定，选法共 ${\mathrm{C}}_6^3=20$ 组． 禁位情形按所选三数集合 $\{s_1<s_2<s_3\}$ 计：

• $a_1=1$：$s_1=1$，另选两个，${\mathrm{C}}_5^2=10$ 组；
• $a_3=3$：$s_2=3$，从 $\{1,2\}$ 选 $s_1$、从 $\{4,5,6\}$ 选 $s_3$，$2\times 3=6$ 组；
• $a_5=5$：$s_3=5$，从 $\{1,2,3,4\}$ 选两个，${\mathrm{C}}_4^2=6$ 组． 两两同时发生：$s_1=1$ 且 $s_2=3$ 有 $3$ 组；$s_1=1$ 且 $s_3=5$ 有 $3$ 组；$s_2=3$ 且 $s_3=5$ 有 $2$ 组；三者同时（$\{1,3,5\}$）有 $1$ 组． 由容斥原理，合法集合数为 $20-(10+6+6)+(3+3+2)-1=5.$ 第二步（排偶数位）：剩余三个数放入第 $2,4,6$ 位，无大小限制，有 $3!=6$ 种排法． 故不同的排列方法共 $5\times 6=30$ 种，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：排列组合容斥计数

核心方法：先选后排 + 容斥原理

避坑指南：奇数位递增使”选数”唯一确定排法，计数对象是三数集合；三个禁位条件的容斥项（两两同时、三者同时）一个都不能漏

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”计数原理”与容斥思想

结论推广：带”不等于”限制的计数 = 总数 - 禁位，多个禁位用容斥；位置不等式约束（递增）会把排列问题降为组合问题

方法推广：先满足结构性约束（如递增定位），再处理禁止性约束，顺序不能反

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练(Links)

• 2010-湖北卷文-06 单-分步计数原理
• 2011-大纲卷文-09 单-计数原理选课
• 2015-广东卷文-10 单-计数原理
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用