2007-福建卷文-15 填-椭圆定义离心率

本题导读

本题考查椭圆的定义，以及离心率。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(文)） 已知长方形 $ABCD$，$AB=4$，$BC=3$，则以 $A$，$B$ 为焦点，且过 $C$，$D$ 两点的椭圆的离心率为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $C$ 在椭圆上：$|AC|+|BC|=2a$。长方形中 $|AC|=5$（勾股），$|BC|=3$，故 $2a=8$。
2. $2c=|AB|=4$。
3. $e=c/a$。

✅【答案】

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$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

长方形中 $|AC|=\sqrt{4^2+3^2}=5$，$|BC|=3$． 由 $C$ 在椭圆上且焦点为 $A$，$B$：$2a=|AC|+|BC|=8$，$a=4$；$2c=|AB|=4$，$c=2$． 故 $e=\frac{c}{a}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$． （检验 $D$：$|BD|=5$，$|AD|=3$，和为 8，$D$ 亦在椭圆上，一致。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆定义离心率

核心方法：椭圆定义列 $2a=|AC|+|BC|$，勾股算 $|AC|$

避坑指南：长方形对角线长 $\sqrt{4^2+3^2}=5$；离心率 $e=\frac{c}{a}$，别把 $2c=|AB|$ 误作 $c=|AB|$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆第一定义与长方形几何量的结合，定义考查经典题

结论推广：一般地焦点在长方形两顶点、曲线过另两顶点：$2a=$ 对角线 + 短边

方法推广：凡”过两点、焦点在”字样优先写定义式 $2a=r_1+r_2$

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练(Links)

• 2008-大纲卷I文-15 填-椭圆定义离心率
• 2007-北京卷文-04 单-椭圆离心率范围
• 2007-大纲卷II文-11 单-椭圆离心率
• 2007-安徽卷文-02 单-椭圆离心率