2008-大纲卷I文-15 填-椭圆定义离心率

本题导读

考查椭圆定义与离心率。以 $A$、$B$ 为焦点，椭圆过 $C$，则 $2a=CA+CB=8k$、$2c=AB=4k$，$e=\frac{1}{2}$。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(文)） 在 $△ABC$ 中，$\angle A=90^{\circ }$，$\tan B=\frac{3}{4}$. 若以 $A$、$B$ 为焦点的椭圆经过点 $C$，则该椭圆的离心率 $e=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由 $\tan B=\frac{3}{4}$ 设 $AC=3k$、$AB=4k$，则 $BC=5k$。
2. 椭圆定义：$CA+CB=2a$。
3. 焦距 $2c=AB$。
4. $e=\frac{c}{a}$。

✅【答案】

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$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{4}$，设 $AC=3k$，$AB=4k$，则 $BC=\sqrt{A{C}^2+A{B}^2}=5k$. 以 $A$、$B$ 为焦点的椭圆经过点 $C$，由椭圆定义 $2a=CA+CB=3k+5k=8k,a=4k.$ 焦距 $2c=AB=4k$，$c=2k$. 故离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{2k}{4k}=\frac{1}{2}.$ 故答案为 $\frac{1}{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆定义与离心率

核心方法：$2a=CA+CB=8k$，$2c=AB=4k$，$e=\frac{1}{2}$

避坑指南：椭圆上一点到两焦点距离之和为 $2a$；焦点间距离为 $2c$；设参比（$3k,4k,5k$）比硬算快；$e=\frac{c}{a}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“椭圆定义 + 解直角三角形”求离心率是经典组合，2009 江苏文第 13 题、2010 大纲Ⅰ文第 16 题同型。

结论推广：椭圆定义 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$；勾股定理；$e=\frac{c}{a}$。

方法推广：先由三角比设参写出三边，再用定义直接表 $2a$ 与 $2c$；离心率与参数 $k$ 无关，说明结果稳定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-13 填-椭圆离心率
• 2009-浙江卷文-06 单-椭圆离心率
• 2010-大纲卷I文-16 填-椭圆离心率
• 2010-四川卷文-10 单-椭圆离心率范围