2007-福建卷文-21 解-Sn与an及错位相减

本题导读

本题考查Sn 与 an 关系。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(文)） 数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_1=1$，$a_{n+1}=2S_n$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）. （1）求数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n$. （2）求数列 $\{n{a}_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）$n⩾2$ 时 $a_{n+1}-a_n=2S_n-2S_{n-1}=2a_n$，得 $a_{n+1}=3a_n$；$a_2=2S_1=2$。
2. 通项 $a_n=2\cdot 3^{n-2}$（$n⩾2$），$a_1=1$。
3. （2）$T_n=1+\sum _{k=2}^{n}k\cdot 2\cdot 3^{k-2}$，对 $\sum k\cdot 3^k$ 用错位相减。
4. 算出 $U_n=\sum _{k=2}^{n}k\cdot 3^{k-2}=\frac{\left(2n-1\right)3^{n-1}-1}{4}$，$T_n=1+2U_n$。

✅【答案】

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（1）$a_1=1$；$n⩾2$ 时 $a_n=2\cdot 3^{n-2}$．（2）$T_n=\frac{\left(2n-1\right)3^{n-1}+1}{2}$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）

✍【详细解析】

Abstract

（1）$a_2=2S_1=2$．当 $n⩾2$ 时，$a_{n+1}-a_n=2S_n-2S_{n-1}=2a_n$，即 $a_{n+1}=3a_n$． 故 $n⩾2$ 时 $\{a_n\}$ 是公比 $3$ 的等比数列，$a_n=2\cdot 3^{n-2}$；$a_1=1$． （2）$T_n=a_1+\sum _{k=2}^{n}k{a}_k=1+2\sum _{k=2}^{n}k\cdot 3^{k-2}$． 记 $U_n=\sum _{k=2}^{n}k\cdot 3^{k-2}$，错位相减： $U_n=2\cdot 3^0+3\cdot 3^1+4\cdot 3^2+\cdots +n\cdot 3^{n-2},$ $3U_n=2\cdot 3^1+3\cdot 3^2+\cdots +\left(n-1\right)\cdot 3^{n-2}+n\cdot 3^{n-1}.$ 两式相减得 $2U_n=n\cdot 3^{n-1}-2-\left(3^1+3^2+\cdots +3^{n-2}\right).$ 其中 $3^1+3^2+\cdots +3^{n-2}=\frac{3\left(3^{n-2}-1\right)}{3-1}=\frac{3^{n-1}-3}{2}$， 故 $2U_n=n\cdot 3^{n-1}-2-\frac{3^{n-1}-3}{2}=\frac{\left(2n-1\right)3^{n-1}-1}{2}$，即 $U_n=\frac{\left(2n-1\right)3^{n-1}-1}{4}$． 所以 $T_n=1+2U_n=1+\frac{\left(2n-1\right)3^{n-1}-1}{2}=\frac{\left(2n-1\right)3^{n-1}+1}{2}$． 检验：$n=1$ 时 $T_1=a_1=1$，公式给 $\frac{1\cdot 1+1}{2}=1$，吻合；$n=2$ 时 $T_2=1+2\cdot 2=5$，公式给 $\frac{3\cdot 3+1}{2}=5$，吻合． 故 $T_n=\frac{\left(2n-1\right)3^{n-1}+1}{2}$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：Sn与an及错位相减

核心方法：$a_{n+1}-a_n=2a_n$ 得公比 3；错位相减求 $\sum k\cdot 3^k$

避坑指南：$a_n$ 与 $S_n$ 混合题 $n=1$ 要单验；错位相减后求和号首尾项易错，代 $n=1,2$ 检验

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$S_n$ 与 $a_n$ 递推 + 错位相减求和，数列大题双核心

结论推广：推广：$a_{n+1}=q{S}_n$ 型通项 $a_n=(q-1)\cdot q^{n-2}{a}_1$（$n⩾2$，$q\ne 1$）

方法推广：$S_n$ 与 $a_n$ 互化必须验 $n=1$；错位相减结果代 $n=1,2$ 检验

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练(Links)

• 2007-北京卷文-16 解-递推数列等比条件
• 2007-辽宁卷文-20 解-递推数列构造求和
• 2007-安徽卷文-21 解-养老储备金递推
• 2008-四川卷文-21 解-和式递推构造等差