2007-辽宁卷文-20 解-递推数列构造求和

本题导读

本题考查递推数列。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ 满足 $a_1=2$，$b_1=1$，且 $\{\begin{array}{l}{a}_n=\frac{3}{4}{a}_{n-1}+\frac{1}{4}{b}_{n-1}+1,\\ b_n=\frac{1}{4}{a}_{n-1}+\frac{3}{4}{b}_{n-1}+1,\end{array}(n⩾2).$ （1）令 $c_n=a_n+b_n$，求数列 $\{c_n\}$ 的通项公式； （2）求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_n$．

🔍【思路分析】

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1. （1）两式相加：$c_n=c_{n-1}+2$，首项 $c_1=3$，等差。
2. （2）两式相减：$a_n-b_n=\frac{1}{2}(a_{n-1}-b_{n-1})$，等比；$a_n=\frac{c_n+(a_n-b_n)}{2}$。
3. 求和拆成等差部分与等比部分两组。

✅【答案】

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(1)$c_n=2n+1$；(2)$a_n=n+\frac{1}{2}+2^{-n}$，$S_n=\frac{n(n+2)}{2}+1-2^{-n}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 两式相加： $c_n=a_n+b_n=a_{n-1}+b_{n-1}+2=c_{n-1}+2,$ 又 $c_1=a_1+b_1=3$，故 $\{c_n\}$ 是首项 $3$、公差 $2$ 的等差数列， $c_n=3+2(n-1)=2n+1.$ （2） 两式相减，记 $d_n=a_n-b_n$： $d_n=\frac{1}{2}{a}_{n-1}-\frac{1}{2}{b}_{n-1}=\frac{1}{2}{d}_{n-1},$ 又 $d_1=a_1-b_1=1$，故 $d_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=2^{1-n}$． 由 $a_n=\frac{c_n+d_n}{2}$，得 $a_n=\frac{2n+1+2^{1-n}}{2}=n+\frac{1}{2}+2^{-n}.$ 于是 $S_n={\sum }_{k=1}^n\left(k+\frac{1}{2}+2^{-k}\right)=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n}{2}+\left(1-2^{-n}\right)=\frac{n(n+2)}{2}+1-2^{-n}.$ （验证：$n=1$ 时 $a_1=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=2$，$S_1=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2$，吻合。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：递推数列构造求和

核心方法：两递推式相加相减，构造等差与等比

避坑指南：相加得 c_n=c_{n-1}+2（等差），相减得 d_n=d_{n-1}/2（等比）；a_n=(c_n+d_n)/2，求和时两组分别套公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”数列的递推”（构造法）

结论推广：a_n=p·a_{n-1}+q·b_{n-1}+r 与 b_n 对称的双递推，和与差各成一条新数列

方法推广：“对称双递推”统一处理法：相加看和、相减看差，两条线分别定型后再合成

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练(Links)

• 2008-天津卷文-20 解-递推数列等差等比
• 2011-重庆卷文-16 解-等比等差分组求和
• 2008-浙江卷文-18 解-数列分组求和
• 2008-安徽卷文-21 解-递推数列三问