2007-福建卷理-04 单-向量数量积性质反例

本题导读

本题考查平面向量的基本概念、数量积运算性质以及命题真伪的判定。通过对每个选项性质的审查，或构造具体反例来排除错误命题，从而筛选出真命题。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(理)） 对于向量 $\mathbf{a}、\mathbf{b}、\mathbf{c}$ 和实数 $\lambda$，下列命题中真命题的是()

A. 若 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$，则 $\mathbf{a}=0$ 或 $\mathbf{b}=0$

B. 若 $\lambda \mathbf{a}=0$调，则 $\lambda =0$ 或 $\mathbf{a}=0$

C. 若 ${\mathbf{a}}^2={\mathbf{b}}^2$，则 $\mathbf{a}=\mathbf{b}$ 或 $\mathbf{a}=-\mathbf{b}$

D. 若 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}$，则 $\mathbf{b}=\mathbf{c}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 A 项：向量数量积为 0 意味着两向量垂直或至少有一个为零向量。若 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$ 且皆非零，数量积也为 0。故 A 为假命题。

2. 分析 B 项：根据向量数乘的消去性质与数乘定义，一个实数与一个向量的乘积为零向量，其充要条件确实是实数为 0 或该向量为零向量。故 B 为真命题。

3. 分析 C 项： ${\mathbf{a}}^2={\mathbf{b}}^2⟹|\mathbf{a}{|}^2=|\mathbf{b}{|}^2⟹|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|$。模长相等并不意味着向量相等或互为相反向量（它们方向可以任意）。故 C 为假命题。

4. 分析 D 项： $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}⟹\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}-\mathbf{c})=0$。这说明 $\mathbf{a}\perp (\mathbf{b}-\mathbf{c})$，并不需要 $\mathbf{b}=\mathbf{c}$。故 D 为假命题。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：针对平面向量与实数运算性质展开逐项判定：

• 对于 A 选项：若 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$，则两向量有可能相互垂直（ $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$），此时两向量均可以是非零向量。例如 $\mathbf{a}=(1,0),\mathbf{b}=(0,1)$， $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$ 成立但两向量不为零向量，故 A 为假命题；
• 对于 B 选项：根据向量数乘运算的基本性质，实数与向量的积为零向量 $\lambda \mathbf{a}=0$ 的充要条件是代数系数 $\lambda =0$ 或向量分量 $\mathbf{a}=0$，此结论属于向量基础运算定理，故 B 为真命题；
• 对于 C 选项：因为 ${\mathbf{a}}^2=|\mathbf{a}{|}^2,{\mathbf{b}}^2=|\mathbf{b}{|}^2$，所以由 ${\mathbf{a}}^2={\mathbf{b}}^2$ 仅能推导得出两向量的模长相等（即 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|$）。模长相等的两个向量可以具有不同的方向（如分别指向不同的象限），不一定满足相等或相反关系，故 C 为假命题；
• 对于 D 选项：若 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}$，移项变形可得 $\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}-\mathbf{c})=0$。只要非零向量 $\mathbf{a}$ 与向量差 $(\mathbf{b}-\mathbf{c})$ 相互垂直即可使等式成立，无法得出 $\mathbf{b}-\mathbf{c}=0⟹\mathbf{b}=\mathbf{c}$，故 D 为假命题。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量数量积无传统实数乘法的“消去律”、向量平方等价于模长的平方（ ${\mathbf{a}}^2=|\mathbf{a}{|}^2$）。
2. 核心方法：反例排除法。
3. 避坑指南：

• 极易受实数代数规则习惯的影响而误选 A, C 或 D。必须时刻紧绷一根弦：向量的数量积运算不具备实数除法和消去性质，处理 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$ 或等式时，务必先转化为“垂直”特征来寻找反例。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量的数乘运算、向量数量积的性质与反例是福建卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是向量的数乘运算、向量数量积的性质与反例的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用概念性质判定法、反例排除法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2009-陕西卷文-08 单-向量中点数量积
• 2010-山东卷文-12 单-向量新定义运算