2007-福建卷理-13 填-可行域目标函数

本题导读

本题考查二元一次不等式组构成的平面可行域及线性目标函数的最值求解。通过在直角坐标系中绘制出可行域，利用平行直线系平移法确定目标函数的取值范围。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(理)） 已知实数 $x、y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x+y\ge 2\\ x-y\le 2\\ 0\le y\le 3\end{array}$，则 $z=2x-y$ 的取值范围是________。

🔍【思路分析】

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1. 作可行域：

• 边界直线 $x+y=2,x-y=2,y=0,y=3$ 分别画出。
• 确定满足不等式组的封闭或开放图形区域。经判定，可行域是以各交点构成的四边形区域。

2. 计算各关键顶点坐标：

• 由 $x+y=2$ 与 $y=0$ 交于 $(2,0)$；
• 由 $x-y=2$ 与 $y=0$ 交于 $(2,0)$，即两个边界在 $x$ 轴相交于点 $A(2,0)$；
• 由 $x+y=2$ 与 $y=3$ 交于 $B(-1,3)$；
• 由 $x-y=2$ 与 $y=3$ 交于 $C(5,3)$。

3. 分析目标函数：变形目标函数 $y=2x-z$。斜率为 2 保持不变。当直线向右下方平移时， $z$ 增大；向左上方平移时， $z$ 减小。

4. 代入顶点确定最值范围：分别将顶点 $A,B,C$ 的坐标代入目标式，计算 $z$ 的最大值与最小值。

✅【答案】

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$[-5,7]$

✍【详细解析】

Abstract

解：首先，在平面直角坐标系中绘制出不等式组 $\{\begin{array}{l}x+y\ge 2\\ x-y\le 2\\ 0\le y\le 3\end{array}$ 对应的平面可行域。

联立方程组求出该几何可行域的所有关键顶点坐标：

• 联立 $\{\begin{array}{l}x+y=2\\ x-y=2\end{array}⟹A(2,0)$
• 联立 $\{\begin{array}{l}x+y=2\\ y=3\end{array}⟹B(-1,3)$
• 联立 $\{\begin{array}{l}x-y=2\\ y=3\end{array}⟹C(5,3)$

将目标函数 $z=2x-y$ 变形为斜截式方程形式： $y=2x-z$ 这代表一组斜率为 2，在 $y$ 轴上的截距为 $-z$ 的平行直线系。 根据图象的相对几何位置，当直线 $y=2x-z$ 经过可行域的左上方边界点 $B(-1,3)$ 时，截距 $-z$ 取得最大值，此时目标值 $z$ 取得最小值： $z_{\text{min}}=2\times (-1)-3=-5$

当直线 $y=2x-z$ 经过可行域的右边界点 $C(5,3)$ 时，截距 $-z$ 取得最小值，此时目标值 $z$ 取得最大值： $z_{\text{max}}=2\times 5-3=7$

(注：将顶点 $A(2,0)$ 代入得 $z=4$， 处于区间内部。)

因此，目标函数 $z=2x-y$ 的全域取值范围为 $[-5,7]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面区域截距型线性规划、平行直线系平移特征（左上减，右下增）。
2. 核心方法：数形结合顶点代入法。
3. 避坑指南：

• 线性规划在画图时必须用直尺大致准确地定出各交点的位置。若把 $B$ 或 $C$ 点坐标算错，整个最值边界会全盘崩溃。在求出最值后，习惯性将所有顶点都代入算一遍比对大小，是最稳妥的核验策略。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划、可行域与目标函数是福建卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是线性规划、可行域与目标函数的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用数形结合斜率平移法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷理-14 填-线性规划
• 2014-浙江卷理-13 填-可行域与目标函数
• 2015-新课标I卷理-15 填-线性规划