2007-福建卷理-20 解-韦达定理向量数乘坐标表示

本题导读

本题考查利用向量数量积求解动点轨迹方程，以及直线与抛物线相交的综合性质。第一问直接设点，将向量关系坐标化，化简后可得动点 $P$ 的轨迹是标准的抛物线；第二问通过设出直线方程并与抛物线联立，将向量共线比例系数 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 转化为点坐标的比值，运用韦达定理求解。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(理)） 如图，已知点 $F(1,0)$，直线 $l:x=-1$， $P$ 为平面上的动点，过 $P$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为点 $Q$，且 $\overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}\cdot \overrightarrow{FQ}$.

(1) 求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2) 过点 $F$ 的直线交轨迹 $C$ 于 $A、B$ 两点，交直线 $l$ 于点 $M$，已知 $\overrightarrow{MA}={\lambda }_1\overrightarrow{AF}$， $\overrightarrow{MB}={\lambda }_2\overrightarrow{BF}$，求 ${\lambda }_1+{\lambda }_2$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：

• 设动点 $P(x,y)$。由于 $PQ\perp l$ 且 $l:x=-1$，可知垂足 $Q$ 的纵坐标与 $P$ 相同，即 $Q(-1,y)$。
• 分别用坐标写出四个向量： $\overrightarrow{QP},\overrightarrow{QF},\overrightarrow{FP},\overrightarrow{FQ}$。
• 代入已知等式进行数量积坐标化化简，提取出 $y^2=4x$ 的抛物线方程。

2. 第二问：

• 轨迹 $C$ 为抛物线 $y^2=4x$，焦点为 $F(1,0)$，准线为 $l:x=-1$。

• 设过焦点 $F(1,0)$ 的直线方程为 $x=ky+1$。

• 求出直线与准线 $x=-1$ 的交点 $M$ 的坐标：令 $x=-1⟹ky+1=-1⟹y_M=-\frac{2}{k}$。

• 将直线方程与抛物线联立，由韦达定理得到纵坐标和与积的关系。

• 根据 $\overrightarrow{MA}={\lambda }_1\overrightarrow{AF}$ 可知其纵坐标分量同样满足比例，故 ${\lambda }_1=\frac{y_A-y_M}{y_F-y_A}=\frac{y_A-y_M}{-y_A}$。同理写出 ${\lambda }_2$，并进行化简。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）设动点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$。 因为过点 $P(x,y)$ 作直线 $l:x=-1$ 的垂线，垂足为 $Q$，所以点 $Q$ 的坐标为： $Q(-1,y)$

已知各定点与动点坐标，依次写出相关向量的坐标表示： $\overrightarrow{QP}=(x-(-1),y-y)=(x+1,0)$ $\overrightarrow{QF}=(1-(-1),0-y)=(2,-y)$ $\overrightarrow{FP}=(x-1,y-0)=(x-1,y)$ $\overrightarrow{FQ}=(-1-1,y-0)=(-2,y)$

将各向量代入已知等式 $\overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}\cdot \overrightarrow{FQ}$ 中进行数量积计算： $(x+1)\times 2+0\times (-y)=(x-1)\times (-2)+y\times y$ 展开化简两边多项式： $2x+2=-2x+2+y^2$ 移项合并同类项，归拢可得： $y^2=4x$

所以，动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程为 $y^2=4x$（为以 $F(1,0)$ 为焦点，直线 $l$ 为准线的抛物线）。

（2）由题意，过焦点 $F(1,0)$ 的直线若斜率不存在（即 $x=1$），则直线不与准线 $l:x=-1$ 相交，不合题意。 因此，设过焦点 $F(1,0)$ 的直线方程为： $x=ky+1$

将直线方程 $x=ky+1$ 与准线方程 $x=-1$ 联立，求交点 $M$ 的坐标： $-1=ky+1⟹ky=-2⟹y_M=-\frac{2}{k}$ 故点 $M$ 的坐标为 $\left(-1,-\frac{2}{k}\right)$。

将直线方程与抛物线方程 $y^2=4x$ 联立： $y^2=4(ky+1)⟹y^2-4ky-4=0$ 设交点坐标为 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，由韦达定理可得： $y_1+y_2=4k,y_1{y}_2=-4\text{(1)}$

根据平面向量数乘共线定理，由 $\overrightarrow{MA}={\lambda }_1\overrightarrow{AF}$ 可知，其对应的 $y$ 轴纵坐标分量亦满足相同的代数比例关系（且 $y_F=0$）： $y_1-y_M={\lambda }_1(y_F-y_1)⟹y_1-y_M=-{\lambda }_1{y}_1⟹{\lambda }_1=\frac{y_M-y_1}{y_1}=\frac{y_M}{y_1}-1$ 同理，由 $\overrightarrow{MB}={\lambda }_2\overrightarrow{BF}$ 可得： ${\lambda }_2=\frac{y_M-y_2}{y_2}=\frac{y_M}{y_2}-1$

要求解 ${\lambda }_1+{\lambda }_2$ 的值，将两式累加展开： ${\lambda }_1+{\lambda }_2=\left(\frac{y_M}{y_1}-1\right)+\left(\frac{y_M}{y_2}-1\right)=y_M\left(\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}\right)-2$ 对括号内部进行同分通分： ${\lambda }_1+{\lambda }_2=y_M\cdot \frac{y_1+y_2}{y_1{y}_2}-2$

将 $y_M=-\frac{2}{k}$ 以及①式中的韦达定理代数式整体代入上式中： ${\lambda }_1+{\lambda }_2=\left(-\frac{2}{k}\right)\times \frac{4k}{-4}-2$ ${\lambda }_1+{\lambda }_2=\left(-\frac{2}{k}\right)\times (-k)-2=2-2=0$

所以， ${\lambda }_1+{\lambda }_2$ 的值为 0。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量坐标建系代入化简法、直线与抛物线联立的“设而不求”韦达定理模型、向量共线转化为对应纵坐标比值。
2. 核心方法：纵坐标单变量代换法。
3. 避坑指南：

• 在处理第二问的向量关系式 $\overrightarrow{MA}={\lambda }_1\overrightarrow{AF}$ 时，最不易出错的做法就是直接提取其 $y$ 轴纵坐标分量进行计算。这样可以彻底避开复杂的 $x$ 轴二次方项交叉乘积， 只需要利用一阶的 $y_1,y_2$ 结合分式通分即可在一分钟内实现消元化简， 属于解析几何的大道至简捷径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查平面向量的数量积运算、抛物线的定义与标准方程，是福建卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（坐标代数直接法、联立方程韦达定理法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：平面向量的数量积运算、抛物线的定义与标准方程相互关联，解答中综合运用了坐标代数直接法、联立方程韦达定理法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷理-20 解-椭圆
• 2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义
• 2013-陕西卷理-20 解-抛物线定义